目录 第一章微积分 1.1回顾微积分……… ……(1) §1.2复数域扩充复平面及其球面表示 §1.3复徽分…… (10) §1.4复积分… …(16) 1.5初等函数 ………(18) §1.6复数级数 (25) 习题 第二章 Cauchy积分定理与 Cauchy积分公式:…………(33) §2.1 Cauchy Green公式( Pompeiu公式)…(33) §2.2( auchy-Goursat定理 §2.3 Taylor级数与 Liouville定理…………44) §2:4有关零点的一些结果 (50) §2.5最人模原理、 Schwarz引理与全纯自同构群 §2.6全纯函数的积分表示 (61) 习题 …(66) 第三章 Weierstrass级数理论 §3.1 Laurent级数 §3.2孤立奇点……… §3.3整函数与亚纯函数 (80) §3.4 Weierstrass因子分解定理、 Mittag-lelfler定理与插值定理 §3.5留数定理· ··中
§3.6解析开拓 习题三…… 第四章 Rieman映射定理 (105) §4.1共形映射 §A.2正规族 (110) §4.3 Riemann驶射定理 §4.4对称原理 …(116) §4.5 Riemann曲面举例……………… §4.6 Schwarz-Christoffel公式…………………(120) 习题四 …(123) 第五章微分几何与 Picard定理…………(126) §5.1度量与曲率……… 852 Ahlfors. Schwarz引理 (132) 85.3 Liouville定理的推广及值分布…………………(l34) §5.4 Picard小定理 (135) §5.5正规族的推广 ………(137) 5.6 Picard大定理… (141) 习题五 (143) 第六章多复变数函数浅引………… (145) s6.1引言 (145) §6.2 Cartan定理…… §6.3单位球及双圆柱上的全纯自同构群 §6.4 Poincare定理·…… (155) S6.5 Hartogs定理 …(156) 参考文献 (160)
第一章微积分 §1.1回顾微积分 复变函数论是在复数域上讨论微积分.如同对任何的数学进 行推广邡样,往往是一部分的内容可以没有多大困难地直接推广 得到,而另部分的内容却是推广后所独有的,在原来实数域理论 中所没有的,前部分当然重要,但人们的兴趣往往更集中在后 部分,因为常常是这部分才真正刻画了事物的本质 在这章中,先十分简单地回顾一下什么是微积分,然后看看 徵积分中哪些结果可以直接推广到复数域上去,而在以后的各章 中要着重讨论·些有本质不同、只在复数域上才特有的一些主要 性质与结果 什么是微积分?微积分三个部分听组成,即微分、积分以及 联系微分,积分成为·对矛的微积分基本定理,即 Newton 1 eibniz公式 众所周知若y=f(x)为定义在区间(a,b)上的一个函数,如 桌/mxf(x|h)-f(x) 在(a,b)屮的点x存在,则称f(x)在这 点可微记这板限值为或f(x)等,称为f(x)在点x的微商 称df-f(n)dx为f(x)在点x的微分如果在(a,b)上每点都 可微,则称函数在(a.b)上可微另·方亩,如果y=f(x)在{a,b 上:定义,将[a.b分为任意n个小区间a=xf()(x,-x-1)存在,则称
f(x)在[ab上可积记此极限值为|f(x)dx.这就是微积分最 最基本的定义及出发点,并且都有很明确的几何意义,微商是y f(x)所描绘的曲线在点(x,y)处的斜率,积分是曲线y=f(x) La,b]的曲边梯形的面积 微分、积分的概念古已有之,使之成为一门学问而发扬光大是 由于 Newton和 Leibniz证明了微积分基本定理,即指出了微分与 积分是··对矛盾,这条基木定理有两种相互等价的表述形式 微积分基本定理(微分形式)设函数f()在区间[a,b]上连 续,x是[a,b]中的一点,令 Φ(x)-|f()dt(a 则(x)在[a,b]中可微,并且φ(x)=f(x),即d(x)=f(x)dx 换句话说,若f(x)的积分是φ(x),则(x)的做分就是f(x)dx 微积分基本定理(积分形式)设更(x)是在[a,b中叮微,且 d(2等于连续函数f(x),那末成立着 f()dt=φ(x)-p(a)(a≤x≤b) 换句话说,若Φ(x)的微分是f(x)dx,则f(x)的积分就是φ(x) 有了这个定理,求积分成为求微分的逆运算,而微分与积分的 此性质相L对应,成为一件事物的两个方面例如 d(f(x)+8(x))d/(r2+ dg(r) d (f(r)+ g(r)dr- f(x)dx+ lg(x)dr 相对应; a(g)= 与分部积分法
fg'dr=fg-lgf'dx 相对应; 若w=f(y) (x),则 d f(g(r)) df dy dr dy dx 8 f(y)dy 柑对应等等.又例如微分中值定理:若∫(x)在{a,b」上可微,则在 [a,b」中存在点c,使得 f(b)-(u)-(c)(b a) 与积分中值定理:若∫(x)在[a,b」上连续,则在La,b]中存在…点 使得 f(r)dr-f(s)(b-a) 是相互对应的.又例如,网数的 Taylor展开,可以用微分来证明 之,并以微分形式表达其余项;也叮以用积分来证明之,并以积分 形式来表达其余项等等,不在此一一赘述了 在微积分中一般讨论初等函数及其复合函数,所谓初等函数 是指下面三类函数,即 1.幂函数x"a为实数;多项式a0+a1x+…+anr,a(i=0, 1…,n)为常数;有理分式x“”,这里b(=0,1 m),c(i=0,1,…p)为常数;以及其反函数 2.三角函数sinx,cosx等等及其反函数,如 arcsIn.,arccos. 等等 3.指数函数e2等等及其反函数lnr.log2x等等 而所谓函数f(x)的 Taylor展开式及 Fourier展开式不过是 用第1类中的多项式米逼近函数f(x),以及用第2类中的 Sinn
cosn. c等来近函数f(x)所以没有用第3类初等函数,即指数 函数来通近函数f(x)的原因之一是下面即将讲到的 Euler公式 指数函数可以表为二角函数当然·些重要的初等函数的 Taylor级数是熟知的.例如: +;;十a+。, (1.2) (1.3) 4!6! In(1+r)cu (-1<x≤1),(1.4) 213 11x)=1+rx/x(r-1) r(r-1)(r-2) 2! 3! (|x|<1,为实数) (1.5) 等等. 以上只是上分简单地问顾了维微积分的大概,用这种观点 来看待一维微积分,详细的叙述可参阅我与张声雷所写的《简明微 积分》中有关部分(龚昇、张声需1) 至于高维的微积分,也有相应的二个部分,即微分、积分及联 系微分与积分的微积分基本定理.只是在微分的部分有偏微分、仝 微分,而与微商相当的是 Jacob矩阵;在积分的部分有重积分、线 积分、面积分等这些都是维微分与积分的自然推疒于是也可 列出其相应的定理,这里不多叙述了.对第部分要说几句话在 高维情形下什么是微积分的基本定理?是什么定理刻画了在高维 的情形下微分、积分是·对矛盾?回答是:Gren公式、 Stokes公 式及Gaus公式 Green公式若D为ry“面上封闭曲线L围成的闭区域, 函数P(x…y)和Q(x,y)在D上有阶连续偏微商,则 Pdr+ Qdy aQ af drd (1.6) dy
Stokes公式设在空间有曲面Σ,边界是封闭曲线L,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(r,y,z)有一阶连续偏微商,则 Pdr t ody t rdz Oy az dydx +/aP_aR R ded x ax aQ aP drdy (1.7) y Gauss公式设V是空间封闭曲而Σ所围成的闭风域,函数 P(x,y,z),Q(,y,x),R(xy,z)在V上有一阶连续偏微商,则 事减d+dr+kdy(0+20+ 这三个公式都刻画了在边界上积分与在内部积分的关系,如 果用外微分形式.那末这个公式可以统一成一个公式,称为 Stokes公式要十分严谨的叙述外微分形式需要很多篇幅,但这 叮以在很多微积分的教材中找到拙著《简明微积分》就是用这种 观点来写的.在这里只能十分简单地形式地作一简介(龚昇、张声 雷1) 定义微分dn与dy的外乘积为dx∧dy,它满足卜面的规则 (1)dx∧dx=0,即两个相同微分的外乘积为零 (2)dx∧dy=- dy adr,即两个不同微分的外乘积交换次序 差一符号 当然(1)可以看成(2)的推论.由微分的外乘积乘上函数组成 的微分形式称为外徵分形式例如:若P,Q,R,A,B,C,H为x,y, 的函数,则 Pdx Qdy + rdz 为一次外微分形式(由于一次没有外乘积,与普通的微分形式是一 样的);
Ad. Ady+Bdy∧dx+Cdz∧d 为次外微分形式; Hdx adyadz 为三次外微分形式;而P,Q,R,A,BC,H称为微分形式的系数 对于外微分形式ω可以定义外微分算子d,它是这样定义的:对F 次外微分形式,即函数f,定义 a∫ d=dx+°dy+dx, 即普通的全傚分算子.对于一次外微分形式a=Pdx+ady+ Rdz,定义 da-dP Ad.+dQ ady +dr Adz. 即对PQ,R进行微分,然后进行外乘积通过外乘积运算规则, 可得 aR aQ ap aR dy∧dz az z ax. aQ a1 dx∧d y 对于二次外微分形式a= Ady a dz+ Bdz adr+Cdr∧dy也是一 样定义: da= dA Ady∧dz+dB∧ dz adx+ dc ndx ndy aa, ab ac dx∧dyAd 对于三次外微分形式a= Hdr ndy∧dz也是一样定义: do-dH∧dx∧ dy adz 可以证明这恒等于苓.如果规定ddr=ddy=ddz=0,则外微分算 子d与普通微分算子是·样的了,即对每-项进行运算,在每一项 中分别对每个因子进行运算,其余子不动,将得出的各项相 加,不同的只是外微分算子d是在运算之后进行外乘积由此立得 重要的 Poincare引理:若m为外微分形式,共系数具有二阶连 续偏微商,则ddao=0.其逆也成立,即若a是-个p次外微分形 式,月do=0,则存在一个p-1次外微分形式a,使得ω=da.有了
这些准备之后,那末Gren公式、 Stokes公式与 Gauss公式可以 统一地写成 de (1.9) 这里a为外微分形式,da为a的外微分,Σ为da的积分区域,为 封闭区域,∑表示∑的边界,表示区域行多少维数就是多少重 数积分.事实上,当a为零次外微分形式,(1.9)就是 Newton Leibniz公式;当a为·次外微分形式,在平而的情形,(1.9)就是 Grcen公式;在三维空间,(1.9)为 Stokes公式;当a为二次外微 分形式,(1.9)就是 Gauss公式.(1.9)真正刻画∫微分与积分是 对矛盾这个公式不仅对三维欧氏空间成立,而且对任意高维的 欧氏空间也成立不仅如此,对于更一般的微分流形上也是成立 的,所以(1.9)是高维空间的徵积分的基本定理.这个定理是微积 分的顶峰与终点 当然这样回顾微积分是十分粗略的,但我想说清楚思路就可 以了,不可能也不必要在此作十分仔细的叙述 复变函数论是复数域上的微积分,是普通微积分的继续,公式 (19)成为4书的出发点之一也是十分自然的事了 §1.2复数域扩充复平面及其球面表示 复数的全体组成复数域,它是实数城的扩允 在初等代数中已经知道,虚数单位具有性质=一1,将这 虚数单位与两个实数a,P用加、乘结合起来得到复数a+iB.a,B 分别称为这一复数的实部 rcal part)匀虚部( maginary part).若 记a-a十iβ,则记Rea=a,lma=β.两复数相等当且仅当实部与 虚部相等.复数的四则运算为 (a+iβ)±(y+iδ)=(a±y)+i(±0), (α!iB)(Y+i)=(ay-)+i(a+P)
若y+i≠0 a +iB (a t ip)(r-io) (ar Ba)+ i(By-a8 +iδ(+i)(一i0) 若复数a=a+i,则a-i称为a的共轭( conjugatc)复数,记 作a.于是 Rea a t u Ima 2 a十b=a+b,ab=a·b a-a2+P2,记作1a|2,而la|=√a2+称为a的绝对值.显然 b b{, b 16l (b≠0), a±b12-1a|2+|b2±2Reab,{+b≤a+1b 等等. 对于平面上.·个给定的直角坐标系来说,复数a=a+iB可以 用坐标(a,p)的点来表示,第一个坐标称为实轴,第二个坐标称为 虚轴,所在的平面称为复平面,记作C 个复数不仅可以用点来表示,而且可以用一个由原点指 向这点的向量来表示,这个复数、这个点这个向量都以同一字母 a来表示之.与通常一样,任向量作平行移劲后得到的所有的向 量都视为与原向量恒等.上是复数的加法成为向量的加法而复数 的公式往往赋有几何意义,例如a|表示向量长;a+b≤lat b表示角形两边之和大于第三边,等等 对复数也可引入极坐标(r,g),复数a=a+iβ-r(cog+ IsIng).显然,r=|a|,r称为复数a的模,φ称为复数a的輻角.如 果 d, =r,(cosg, ising),a2=r2(cos t isin u u2 =r(cosp+ isin) 8
