55条件概率 、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式 四、贝叶斯公式 广东工业大学
广东工业大学 上页 下页 返回 §5 条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式 四、贝叶斯公式
条件邮率 例在所有的两位数10到99中任取一个数, (1)求此数能被2或3整除的概率p? (2)若已知此数是偶数问这个数能被3整除的概率p1? 解:设A={任取一个两位数能被2整除} B={任取一个两位数能被3整除} 问题(1)的样本空间为S={10,11,12,…,99 问题(2)的样本空间为SA={10,12,4,…,98} 相对于原问题即问题(1),称SA为缩减样本空间,即由已知A套 已经发生的条件限制了的样本空间 业大学
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 解: 设 问题(1)的样本空间为 问题(2)的样本空间为 已经发生的条件限制了的样本空间. 相对于原问题即问题(1),称 为缩减样本空间, SA A = {任取一个两位数能被2整除} B = {任取一个两位数能被3整除}, = {10,12,14, ,98} SA S = {10,11,12, ,99} 即由已知 A 例 在所有的两位数10到99中任取一个数, (1)求此数能被2或3整除的概率 p? (2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率 p1 ? 一、条件概率
条件邮率 例在所有的两位数10到99中任取一个数, (1)求此数能被2或3整除的概率p? (2)若已知此数是偶数问这个数能被3整除的概率p1? S={10,11,12,…,99}SA={10,12,l4,…,98} 容易求得P(N,A(刚 B AB A p1=P(B)= pi称作是已知A发生的条件下,B发生的条件概率,广 记为P(B|A) 真 从以上数据上看有P(B|A) P(AB) P(A
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例 在所有的两位数10到99中任取一个数, (1)求此数能被2或3整除的概率 p? (2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率 p1 ? 一、条件概率 容易求得 3 1 ( ) p1 = P B = p1 称作是已知 A 发生的条件下, B 发生的条件概率, 记为 P(B | A) . 2 1 P(A) = 6 1 P(AB) = 从以上数据上看,有 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = = {10,12,14, ,98} S = {10,11,12, ,99} SA B AB A
此公式很重要,虽然我们是从特殊的例子得到的,但对 于古典概率、几何概率问题,可以证明这个公式都是正确的 因此,我们就把这个公式作为条件概率的一般定义: 定义1对事件4,B,若P(4)>0,则称 P(BA P(AB) A发生的条件 (A) 件下B发生的 条件概率 为事件B在条件4[发生下的条件概率 相对地有时就把概率P(B)2等边元条件概率 广东工业大学 P(A)
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 定义1 对事件 A,B ,若 P(A) 0, 则称 为事件B在条件A[发生]下的条件概率. 相对地,有时就把概率 P(A),P(B) 等称为无条件概率. 此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对 于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的 。因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义： ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = A发生的条件 条件概率 件下B发生的 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A =
用文氏图解释: 条件概率P(B4)是在 确知4发生的条件下 AB B (即投点落在4之内) 问B发生的概率 (即点落在B内) 也就是说在已知点投在4内的条件下,点也落在B内的概率 显然,已知点投在4内,点也落在B内则点只能落在AB内 从而P(B/≈P(AB) 广东工业大学
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 用文氏图解释： A B 条件概率P(B|A)是在 (即投点落在A之内) 问B发生的概率 (即点落在B内) 确知A发生的条件下 也就是说,在已知点投在A内的条件下,点也落在B内的概率. 显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内. AB 从而 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A =
定理2条件概率的性质: (1)非负性P(B|A)≥0 (2)规范性若AcB,则有P(B|A)=1 特别地P(S|A)=P(A|A)=1 (3)可加性若B1,B2,…,Bn,…为一列两两互不相容的 事件,则有P(∑Bk|A)=∑P(Bk|4) 特别地P(B|4)=1-P(B|A 广东工业大学 证明:略
广东工业大学 上页 下页 返回 定理2 条件概率的性质： （1）非负性 （2）规范性 （3）可加性 P ( B | A ) 0 若A B， 则有P(B | A) = 1 若B1 ,B2 ,,Bn ,为一列两两互不相容的 事件，则有 = = = 1 1 ( | ) ( | ) k k k P B k A P B A 特别地 特别地 P(S | A) = P(A| A) = 1 P(B | A) = 1 − P(B| A) 证明 : 略
在计算条件概率时,一般有两种方法: (1)由条件概率的公式 (2)由P(B4)的实际意义按古典概型用缩减样本空间计算. 广东工业大学
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式; (2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型用缩减样本空间计算
例1一盒中混有100只新、旧乒乓球,各有黄、白两色,分类如 下表。从盒中随机取出一球,若取得的是一只黄球,试求该黄球 是新球的概率 解:设4={取到一只黄球}, 新球旧球 B={取到一只新球} 黄球4020 由已知有 白球30 10 60 P(A) 40 100 P(AB) 100 于是则条件概率公式有 P(B A P(AB) 6033 100
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有黄、白两色，分类如 下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球 是新球的概率。 解: 设A={取到一只黄球}, B={取到一只新球}. 由已知有 30 10 于是,则条件概率公式,有 P(B | A) ( ) ( ) P A P AB = = 100 60 100 40 20 3 2 = P(A) = 40 P(AB) = 100 60 100 40 新球 旧球 黄 球 白 球
例2已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活过 25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率 是多少? 解:以4表示某该种动物“能活过20岁”的事件; 以B表示某该种动物“能活过25岁”的事件 由已知有: P(4)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B) 于是,所求概率 P(BA) P(AB) P(B)0. 0.5 P(A)P(4)0.8
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2 已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活过 25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率 是多少？ 解： 以 A 表示某该种动物“能活过20岁”的事件； 以 B 表示某该种动物“能活过25岁”的事件； 由已知,有： 于是，所求概率 P(B | A) = ( ) ( ) P A P AB ( ) ( ) P A P B = 0.8 0.4 = P(A) = 0.8, P(B) = 0.4, P(AB) = P(B), = 0.5
例2已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活过 25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率 是多少? 条件概率是概率论中最重要的概念这一,作为一项 描述与计算的工具,其重要性首先表现在当存在部分先 验信息(如4已发生,在这里即动物已活过20岁)可资 利用时,可归结为条件概率而对概率作出重新估计(如 这里PB4)=0.5而不是P(B)=0.4了 另外,条件概率也是计算某些概率的有效工具
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2 已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活过 25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率 是多少？ 条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项 描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先 验信息（如A已发生，在这里即动物已活过20岁）可资 利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如 这里P(B|A)=0.5而不是P(B)=0.4了）。 另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具