本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2收敛半径的求法; 3幂级数的运算; 4函数展开成幂级数 5展开式的应用
一、本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2.收敛半径的求法; 3.幂级数的运算; 4.函数展开成幂级数 5.展开式的应用
幂级数及收敛性 设ux)(=1,2,…)均为区间/上的函数,表达式 ∑n(x)=4(x)+l(x)+…+(x)+ 称为函数无穷项级数。若x0∈l,且 ∑n(x)=a4(x)+2(x)+…+u1(x)+ ● 收敛,则称x0为收敛点;由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数,称为和函数
幂级数及收敛性 设 ui (x)( i=1,2, … )均为区间 I上的函数,表达式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 称为函数无穷项级数。若 x 0 ∈ I,且 0 1 0 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 收敛,则称 x 0为收敛点;由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数,称为和函数
特殊地,把形如 ∑an( a +)(x 1 +a1,(x e的函数项级数叫做(xx)的幂级数。当x=0时,上式为 a1x+a2x+……+anx+ 0 对(1)式,作变换仁xx,即得(2)式,故本节主要讨论 (2)的收敛性
特殊地,把形如 的函数项级数叫做(x-x0)的幂级数。当x0=0时,上式为 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ = − = + − + − + + − + ∑ " " ( 1 ) 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + ( 2 ) 对(1)式,作变换t= x-x0 ,即得(2)式,故本节主要讨论 (2)的收敛性
例1幂级数 =1+x+x2+…+x 由等比级数的收敛性,易知当x<1时,级数收敛,故收 敛域为区间(-1,1)。和函数为 ∑x=1+x+x2+…+x+
例1 幂级数 2 1 1 n n n x x x x ∞ = ∑ = + + +" " + + 由等比级数的收敛性,易知当|x|<1时,级数收敛,故收 敛域为区间(-1, 1)。和函数为 1 . 1 − x 即 2 1 1 1 . 1 n n n x x x x x ∞ = = = + + + + + − ∑ "
幂级数收敛域的结构 设幂级数 +a1x+a2x+…+anX+ n=0 则幂级数在z=处收敛,即收敛域非空。当x≠0时,有如 下的定理
幂级数收敛域的结构 设幂级数 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 则幂级数在z=0处收敛,即收敛域非空。当 x ≠ 0时,有如 下的定理
4定理阿贝尔)如果幂级数(2)在x=x处收敛,则当 x0,满足 <M,(n=012
定理(阿贝尔) 如果幂级数 在x=x0处收敛,则当 |x|0,满足 0 lim 0 n n n a x →∞ = ( 0 ) 0 n n n a x ∞= 0 , ( 0,1,2, ) n n a x < = M n
4由此得到,当x<xo时,有 M 而等比级数∑M_收敛,→级数 n=0 ∑ anx =ao + a x +,tanx t n=0 绝对收敛。 反之,若级数∑ax发散,则当xx时,若∑anx
由此得到,当|x|<| x 0|时,有 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x = = ≤ 而等比级数 收敛, ⇒级数 0 0 n n n x M x ∞ = ∑ 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 绝对收敛。 反之,若级数 发散,则当|x|<| x 0 0 |时,若 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑