第一章 第七 无穷小的比较 引例.x→>0时,3x,x2,sinx都是无穷小,但 sinx 1 m =0 lim x->03x x→>03x3 sIn x x->0x 可见无穷小趋于0的速度是多样的 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第一章 x → 0时, 3x, x ,sin x 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 →0 = 0, 2 0 sin lim x x x→ = , x x x 3 sin lim →0 , 3 1 = 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较
定义.设a,B是自变量同一变化过程中的无穷小, 若lim=0,则称B是比a高阶的无穷小,记作 C B=o(a) 若limb=∞,则称B是比a低阶的无穷小 C 若inb=C≠0,则称B是a的同阶无穷小 若1mB=C≠0,则称B是关于c的k阶无穷小 若1nB=1,则称/是a的等价无穷小记作Q~B 或β~a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
lim = C 0, k 定义. lim = 0, 若 则称 是比 高阶的无穷小, = o() lim = , 若 若 若 lim =1, 若 ~ ~ lim = C 0, 或 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,当x→>0时 o( 6x); sinx wx, tanx Nx arcsinxNx 又如 1-cOS x sinx lim =im 0 x>04(x22 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小,且 1-coS x N 2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1证明当x→0时,+x-1~1x 证:lim /1+x-1 0 X a-bn=(a-b)(a"-+a-2b++6"-) =lim (%1+xy-1 x->01 [(1+xr-+(1+x) 1] 当x→>0时,/+x-1~1x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.a~BB=a+0(a) 证:a~B lim =1 C ←lim(2-1)=0,即lim B 0 C C B-a=o(),即B=a+0(a) 例如,x→>0时,sinx~x,tanx~x,故 x→>0时,sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
～ ～ 定理1. = + o() 证: lim =1 lim( −1) = 0, lim = 0 − 即 − = o(), 即 = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
B 定理2.设a~a,B~B,且lim,存在,则 lim β=1im 让:lim a b Ba B βaa B C B lim P limp lir lim B C C 例如,1 lim tan2x=imx2 x->0 sin 5x x->05x5 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理2 . 设 且 存在 , 则 lim 证: lim = lim = lim lim lim = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:设对同一变化过程,,B为无穷小,由等价 无穷小的性质,可得简化某些极限运算的下述规则 (1)和差取大规则:若β=o(a),则a±B~a Sinx X 例如,lim Im x0x3+3xx-03x3 (2)和差代替规则:若a~a,B~B且β与a不等价, 则a-B~a'-B’,且lim2=B lin a-B 但a~β时此结论未必成立 tan 2x-sin x 例如,lim Im 0√1+x-1x>02x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价, 则 − ~ − , 例如, x x x x 3 sin lim 3 →0 + x x x 3 lim →0 = 3 1 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 ~ lim lim , − = − 且 但 ~ 时此结论未必成立. 例如, 1 1 tan 2 sin lim 0 + − − → x x x x x x x x 2 1 0 2 lim − = → = 2
(3)因式代替规则:若a~B,且(x)极限存在或有 界,贝 lim ao(x)=lim Bo(r) 例如, lim arcsin x:sin-= lim x sin-=0 x->0 tanx-sinx 例1.求lim 解:原式=lm tan x(1-cos x) 原式lim x>0 x->0 x·x lim x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例如, . tan sin lim 3 0 x x x x − → 3 0 lim x x x x − = → 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 2 1 0 lim x x x x = → 例1. 求 0 1 lim sin 1 limarcsin sin 0 0 = = → → x x x x x x 解: 原式
1+x 例2求lm x-0 COSx-1 解:当x→>0时, (1+x2)3-1 3 coS x-1 X 原式=lim x→ 3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1.无穷小的比较 设a,B对同一自变量的变化过程为无穷小,且a≠0 0 β是a的高阶无穷小 β是a的低阶无穷小 m aC(≠0),B是a的同阶无穷小 β是a的等价无穷小 B lim k C≠0 B是a的k阶无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
内容小结 0 1. 无穷小的比较 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束