第八节 第三章 方程的近似解 求方程f(x)=0的实根 两种情形∫可求精确根(有时计算很繁) 无法求精确根求近似根 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 三、一般迭代法(补充) 机动目录上下返回结束
三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 求方程 f (x) 0的实根 可求精确根 无法求精确根 求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章
根的隔离与二分法 若方程f(x)=0在{ab内只有一个根,则称[a,b]为 其隔根区间 f(eCLa, bl,f(a)f(6)<0 [a,b]为隔根区间 且f(x)在(a,b)内严格单调 y y=f(x) 1.求隔根区间的一般方法 作图法 b 由y=f(x)的草图估计隔根区间; y=o(x) 将∫(x)=0转化为等价方程 yy(x) p(x=y(x) 由y=0(x),y=W(x)的草图估计隔根区间0a5bx 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法 若方程 f (x) 0在[a,b]内只有一个根， 且 f (x)在（a,b）内严格单调 则称[a,b]为 其隔根区间. f (x)C[a,b], f (a) f (b) 0, [a,b]为隔根区间 (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 由y f (x)的草图估计隔根区间; 将 f (x) 0转化为等价方程 o x y y f (x) o x y 由y (x), y (x)的草图估计隔根区间 . a b (x) (x) a b y (x) y (x)
例如,方程x3-x-1=0可转化为 x3=x+1 由图可见只有一个实根ξ∈(1,1.5) y=x+1 x 1.5)即为其隔根区间 (2)逐步收索法 y 从区间[a,b的左端点出发,以定步长h一步步向右 搜索,若 f(a+jhf(a+(j+1)h)<o (=0,1 …;a+(j+1)h≤b) 则区间[a+,a+(+1)h内必有根 搜索过程也可从b开始,取步长h<0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法 , 1 0 3 例如 方程 x x 1 3 x x 由图可见只有一个实根 (1,1.5), 可转化为 (1,1.5)即为其隔根区间. 从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右 搜索, 若 f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b) 则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根. 搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 . o x y 1 2 3 y x y x 1
2.二分法 设f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0,且方程f(x)=0只有 一个根ξ∈(a,b,取中点51=, 若f(51)=0,则5即为所求根5 b 若f(a)f(1)<0,则根∈(a,51)令a1=a,b1=51; 否则5∈(51,b)令④1=51,b1=b, 对新的隔根区间[a12b重复以上步骤,反复进行,得 a,b→[a1,b]…[an,bn]→ 若取[an,bn的中点5m+1=(an+b)作为的近似根, 则误差满足2n1-5≤(bn-an)≤,h(b-a)-m3,0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
1 a 1b 2. 二分法 设 f (x)C[a,b]， f (a) f (b) 0，且方程 f (x) 0只有 一个根 (a, b)， 取中点1 a 2 b ， 若 ， 1 ( ) 0 f 1 . 则1 即为所求根 若 f (a) f (1 ) 0， ( , ), 1 则根 a , ; 1 1 1 令a a b ( , ), 1 否则 b 对新的隔根区间[ , ] 1 1 a b 重复以上步骤,反复进行,得 , , 1 1 1 令a b b [a, b] [a1 , b1 ] [an , bn ] 若取 [an , bn ]的中点 则误差满足 ( ) 2 1 n 1 n n b a ( ) 1 2 1 b a n a b ( ) 2 1 n 1 n n a b 作为的近似根, 0 n 1 a 1b 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用二分法求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的近似 实根时要使误差不超过103,至少应对分区间多少次? 解:设f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4,则f(x)∈C(-∞,+∞) (x)=3x2+22x+0.9>0 (∵Δ=-5670 故该方程只有一个实根ξ,[0,为其一个隔根区间,欲使 n+1 ≤1(1-0)1000即n>log210001≈8.96 可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值50 (计算结果见“高等数学”(上册)P177~178) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束
例1. 用二分法求方程 1.1 0.9 1.4 0 3 2 x x x 的近似 实根时, 要使误差不超过 10 , 3 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 ( ) 1.1 0.9 1.4, 3 2 f x x x x 则 f (x)C(, ) ( ) 3 2.2 0.9 2 f x x x 0 ( 5.67 0) f (x)在(, )单调递增, 又 f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0 故该方程只有一个实根 , [0,1]为其一个隔根区间, 欲使 (1 0) 1 2 1 n1 n 3 10 必需 2 1000, 1 n 即 log 1000 1 n 2 8.96 可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10 (计算结果见“高等数学”(上册) P177～178) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、牛顿切线法及其变形 f(x)满足 1)在{a,b上连续,f(a)f(b)0 f"0 f">0 b0 0 f"<0 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
二、牛顿切线法及其变形 f (x)满足 : 1) 在[a,b]上连续, f (a) f (b) 0 2) 在[a,b]上 f (x)及 f (x)不变号 方程 f (x) 0 在 (a,b)内有唯一的实根 . 有如下四种情况: b x a y o x b a y o b x a y o x b a y o 0 0 f f 0 0 f f 0 0 f f 0 0 f f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
牛顿切线法的基本思想用切线近似代替曲线弧求方 程的近似根 记纵坐标与f"(x)同号的端点为 (x0,f(x)在此点作切线,其方程为a x2 x1 xox y-f(x0)=∫(xo)(x-x) f(x0) 令y=0得它与x轴的交点(x1,0),其中x1=X0f(x0) 再在点(x1,f(x)作切线,可得近似根x2 如此继续下去,可得求近似根的迭代公式 f(rn-D) 1 称为牛顿迭代公式 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
牛顿切线法的基本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与 f (x) 同号的端点为 ( , ( )), 0 0 x f x 用切线近似代替曲线弧求方 y b x a o 1x 0 在此点作切线 x ,其方程为 ( ) ( )( ) 0 0 0 y f x f x x x 令 y = 0 得它与 x 轴的交点( , 0), 1x ( ) ( ) 0 0 1 0 f x f x x x 其中 再在点( , ( )) 1 1 x f x 作切线 , 可得近似根 . 2 x 如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : ( ) ( ) 1 1 1 n n n n f x f x x x (n 1,2,) 2 x 称为牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
牛顿法的误差估计: 由微分中值定理得 f(xn)-f(2)=f(7)(xn-) 0 (7在xn与5之间) fo f(5)=0,…xn-5 f(n) f(n-1) f'(n) 记m=min/(x)>0,则得x-5/s( [a, b 说明:用牛顿法时,若过纵坐标与f"(x)异号的端点作 切线,则切线与x轴焦点的横坐标未必在[a,b]内 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
牛顿法的误差估计: ( ) ( ) 1 1 1 n n n n f x f x x x 由微分中值定理得 ( ) ( ) ()( ) n n f x f f x y b x a o 1x 0 x2 x (在 与 之间) n x f ( ) 0, ( ) ( ) f f x x n n 0, 则得 m f x x n n ( ) 说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与f (x)异号的端点作 切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 [a, b]内. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 min ( ) [ , ] m f x a b 记
牛顿法的变形 (1)简化牛顿法 若用一常数代替f(xn21),即用平 线代替切线,则得简化牛顿迭代公式 b x 例如用f(x)代替∫(xn1),得 f f(x0) 优点:避免每次计算f(xn1),因而节省计算量 缺点:逼近根的速度慢一些 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法 若用一常数代替 y b x a o ( ), 1 n f x 即用平行 ( ) ( ), 0 1 n 例如用f x 代替 f x 线代替切线,则得简化牛顿迭代公式. 得 ( ) ( ) 0 1 1 f x f x x x n n n (n 1,2,) 优点: 避免每次计算 f (xn1 )，因而节省计算量. 缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)割线法 为避免求导运算,用割线代替切线 例如用差商(xn-)-/(xm2代替0x0%xx f(xn21),从而得迭代公式 2)(n=2,3 f(rn-1)-f(n-2 (双点割线法) 特点:逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法 说明:若将上式中xn2换为x0,则为单点割线法,逼近 根的速度与简化牛顿法相当 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束
y x o 0 x 1x (2) 割线法 为避免求导运算 , ( ), 1 n f x 用割线代替切线, 1 2 1 2 ( ) ( ) n n n n x x f x f x 例如用差商 代替 从而得迭代公式: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n x x f x f x f x x x 2 x 3x (双点割线法) (n 2,3,) 特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 说明: 若将上式中 , 2 0 x x n 换为 则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当. 机动 目录 上页 下页 返回 结束