第三节 第五章 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分 ∫换元积分法 定积分换元积分法 分部积分法 分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章
定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈(Ia,b],单值函数x=0()满足 1)o(tECla, B, (a=a,(B)=b 2)在[a,B]上a≤()≤b, a f(x)dx=f[o(tlo(t)dt 证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 且它们的原函数也存在设F(x)是f(x)的一个原函数 则F[q(t)是f[()]9()的原函数,因此有 f(r)dx=F(b)-F(a)=Fl(B)]-Flola) a Lo(1o(dr HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1 t C 2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则
b f(xdx fio(tlo(tdt 说明: 1)当B<a,即区间换为[B,a时,定理1仍成立 2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用,即 010(0)9(Odr=/(x)dx(令x=) 或配元n(od=Jl()d() 配元不换限 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8
说明: 1) 当 < , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)
例.计算∫a2-x2dr(a>0) 解:令x= asin,则dx= a costed,且 当x=0时,t=0;x=a时,t= a -x 原式=a22cos2tdt 0,C (1+ cos 2t)dt O a x (t+sin 2t 04 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
例2计算2x+14x 解:令t=√2x+1,则x dx=tdt,且 当x=0时,t=1;x=4时,t=3 +2 原式 tdt (t2+3)d 322 +3t) 23 13 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且
例3.设f(x)∈C[-a,a], 偶倍奇零 ().(-x)=f(),则。(x)dx=2」0/(x)dx 2)若f(-x)=-f(x),则f(x)dx=0 ME: f(x)dx=. f(x)dx+f(x)d: 「/()d7+0(x)d令x =0[f(-x)+f(x)dx 20/(x)dx,f(x)=f(x)时 0 f(-x)=-f(x)时 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 证: (1) 若 − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0 + f t t a ( )d 0 = − f x x a ( )d 0 + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0 = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令x = −t =
二、定积分的分部积分法 定理2.设v(x),v(x)∈C[a,b],则 b urv(rr=u(rv(r u(rvrdx 证:∵[(x)v(x)=l(x)v(x)+l(x)(x) 两端在[a,b]上积分 b rb uav(x )=u(x)v(x dx+ u(x)v'(x)dx C b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x) u(Xvr)ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、定积分的分部积分法 定理2. ( ), ( ) [ , ], 1 设u x v x C a b 则 a b 证: [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( )d + ( ) ( )d = u(x)v(x) a b − b a u (x) v(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端在[a,b]上积分
例4.计算 arcsine ax 解:原式= x arcsinx 1-x z+1(1-x232d(-x2 122 0 +(1-x2) 0 122 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1 − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12 = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x − 12 = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12 = 2 3 + −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
N=、=!0 sinar cosr dr 0 n-1n-3 2,n为偶数 422 n为奇数 n n 证:令t=-x,则 sin"xdx cosxdx 令 u=SInx v d, Jsin"(-t)dt inx,则u’=(n-1)sin12 XCOS X COS x In=cos x sin"x 2 0 +(n-1)sin" -x cos xdx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
= 2 0 cos d t t n = 2 0 cos d x x n 例5. 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3 − n n − n n− n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x 则 2 0 sin d x x n = − − 0 2 2 sin ( )d t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n− = − v = −cos x [ cos sin ] 1 I x x n n − = − 0 2 − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d n x x x n 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
=(n sinx cosxdx 兀 (n-1sin"x(1-sinfx )dx =(n-1)ln2-(n-1)n sin"xdx 由此得递推公式n=nln2 于是 2m-12m-3 3 2m2m-2 2m2m-2 2m 1223 2m+12m-1 而 dx sinai 故所证结论成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
− = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d I n x x x n n = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin )d n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I2m = m m 2 2 −1 I2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I0 = 2 0 d x , 2 = = 2 0 1 sin d I x x =1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 −2 I m 2 2 2 3 − − m m 2 −4 m I 2 1 4 3 2 −1 2 I m 1 2 2 − − m m 2 −3 m I 3 2 5 4