习题倮 第四章 不定积分的计算方法 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章
求不定积分的基本方法 1.直接积分法 通过简单变形,利用基本积分公式和运算法贝 求不定积分的方法 2.换元积分法 ()d.第一类换元法 f[φ(t)]q()d 第二类换元法 (代换:x=0(0) (注意常见的换元积分类型) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) x =(t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.分部积分法 uv'dx=uv-lu'vdx 使用原则 l)由v易求出v; 2)vdx比| uv'dx好求 一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺 序 排前者取为u,排后者取为v 计算格式:列表计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
3. 分部积分法 = − u v dx u v 使用原则: 1) 由 v 易求出 v ; 2) u v dx 比 好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v . 计算格式: 列表计算 u vdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束
多次分部积分的规律 lp,(n+1) dx=u u'y(n) dx (n-1)+ ∫n4dx uy 1+p (n-2)「m1,(n-2) (n-1) +u n+1,(n+1) vd. 快速计算表格: (n) (n+1) k)|,(n+1) 特别:当u为n次多项式时,l(m)=0计算大为简便 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
u v x n d ( 1) + = u v − u v x n n d ( ) ( ) ( ) ( −1) = − n n uv u v − + u v x n d ( 1) = = u v (n) −u v (n−1) + u v (n−2) − u v x n n ( 1) d 1 ( 1) + + + − 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( −1) ( −2) = − + n n n uv u v u v u v x n d ( −2) − 快速计算表格: (k ) u (n 1 k ) v + − u u u (n) u (n+1) v (n) v (n−1) v v + − + n (−1) (n+1) u v + − 1 ( 1) n 特别: 当 u 为 n 次多项式时, 0, ( 1) = n+ u 计算大为简便
例.求23 dx 9x+4 da=a inax 解:原式 dx 32x+2 1+ 1r d( 1+(3)2 arctan(2) ln2_12+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求 解: 原式 x x x x x d 3 2 2 3 2 2 + = x x x d 1 ( ) ( ) 2 3 2 3 2 + = + = x x 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) d ( ) ln 1 a a a x x x d = ln d C x + − = ln 2 ln3 arctan( ) 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求 ln(x+√1+x2)+5 d入 √1+x 解 原式 [n(x+√1+x2)+5]2d[ln(x+√1+x2)+5] [ln(x+√1+x2)+5]2+ 分析: )dx d d[ln(x+√1+x2)+5] x+√1+ 1+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 解: = + + + 2 1 [ln( 1 ) 5] 2 原式 x x d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x + 2 x + 1+ x = x x x (1 )d 2 2 1 2 + + 2 1 d x x + = 3 2 = ln( 1 ) 5 2 x + + x + 2 +C 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: d [ln( 1 ) 5] 2 x + + x +
x+sinx 例3.求 1+cos x 解 x+2 sin-cos 原式 2 cos xd tan+I tan-dx 分部积分」 x tan -+o HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 求 解 : 原式 x x x x x d 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 + = = 2 d tan x x x x d 2 tan + C x = x + 2 tan 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例设y(=y=x求积分∫ 解:y(x-y)2=x 令x-y=t,即y=x-t 而d (t2-3 X y dt (t2-1) 原式 r2(t2-3 dt dt 3t 1n2-1+C=1l HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 设 解: 令 x − y = t, 求积分 即 y = x −t , 1 2 3 − = t t x , 1 2 − = t t y 而 t t t t x d ( 1) ( 3) d 2 2 2 2 − − = = 1 原式 t t t t d ( 1) ( 3) 2 2 2 2 − − 1 2 3 t − t 1 3 2 − − t t = ln (x − y) −1 +C 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.求 arctan e 解:原式=- arctan de x - e arctan+e 1+e 2x - e arctan e"+ 1+e)-e dx 1+ e arctan+x-In(1+e)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例5. 求 解: = − x 原式 arctan e x e − d x x e arctan e − = − − + x e x e e x x d 1 2 + x x e arctan e − = − x e e e x x x d 1 (1 ) 2 2 2 + + − + x x e arctan e − = − + x e C x − ln(1+ ) + 2 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6求∫(x3-x+22dx 解:取u=x3-x+2,p(4)=e x3-x+23x2-16x 6 0 (4-k) 原式=c2[(x3-x+2)-1(3x2-1)+6x-1:(]+C e2(4x3-6x2+2x+7)+C 说明:此法特别适用于P( xx sina dx 如下类型的积分 cos ax 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例6. 求 解: 取 2 3 x − x + 3 1 2 x − 6x 6 0 x e 2 x e 2 2 1 x e 2 4 1 x e 2 8 1 x e 2 16 1 + − + − x e 2 原式 = ( 2) 3 2 1 x − x + (3 1) 2 4 1 − x − 6x 8 1 + e x x x C x = (4 − 6 + 2 + 7) + 2 3 2 8 1 6 16 1 − +C x ax ax e P x k x n d cos ( ) sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: