习题保 第八章 多元画飘微分波 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
习题课 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法
基本概念 1.多元函数的定义、极限、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2.几个基本概念的关系 连续性偏导数存在 方向导数存在 可微性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1讨论二重极限imx时,下列算法是否正确? x->0x+ y y>0 解法1原式=1 x→>01+ →>0y"x k x>01+/0 解法2令y=kx,原式=lmx 解法3令x=rcos,y= rsin e, 原式=lim rcos esin日 r→>0cosb+Sin0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx, 解法3 令 x = r cos , y = rsin, 时, 下列算法是否正确?
分析: Xy 解法11im m 0 x→>0x+yx→>0+ 0 →>0yx 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,第二步 未考虑分母变化的所有情况,例如,y=x时,1+1=1 此时极限为1 解法2令y=kx,原式=imk 0 x→>01+k 此法排除了沿曲线趋于原点的情况例如y=x2-x时 原式=lim x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时
解法3令x=rcos日,y=rsin, 原式=lim r costin r→>0cosb+SiaN0 此法忽略了θ的任意性,当r→>0,0→-z时 rcos Osino rcos esin e 极限不存在 cos+sinb√2sin(+0) 由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点同时还可看到 本题极限实际上不存在 特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域內r,θ的变化应该是任意的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解法3 令 x = r cos , y = rsin, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在
x2+y2≠0 2证明:(xy)=1(x2+y2)2 0 0 在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微 提示:利用2xy≤x2+y2,知 f(xy)|≤(x2+y lim f(x,y)=0=f(, 0) y->0 故f在(0,0)连续 又因f(xO)=f0,y)=0,所以f2(0,0)=f,(0,0)=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
+ = + + = 0 , 0 , 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 提示: 利用 2 , 2 2 xy x + y 2 1 2 2 ( ) 4 1 f (x, y) x + y lim ( , ) 0 (0, 0) 0 0 f x y f y x = = → → 故f 在 (0,0) 连续; 又因 f (x,0) = f (0, y) = 0, (0,0) = (0,0) = 0 x y 所以 f f 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
而△f (△x)2(△y)2 (0,0) △x2+(△y212 当Ax→>0,△y→>0时, △/(00 =(4x)(y)2 (△x)2+(Ay)2[(△x2+(Ay)2]2 0 所以f在点(00)不可微! HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
而 f (0,0) = 当x → 0，y → 0时, 2 2 (0,0) ( x) ( y) f + 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + = 0 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 2 3 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) x y x y + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.已知f(x+y,x-y)=x2-y2+g(x+y),且 f(x,0)=x,求出f(x,y)的表达式 解法1令l=x+y,=x-y,则 X u+v (l-p) f(0)=1(+)2-4(-)2+0/()=v+g() 即 f(x,y=xy+o(r) f(x,0)=x2((x)=x f(x,y)=x(y+1) 解法2∵f(x+y,x-y)=(x+y)x-y)+q(x+y f(x,y)=xy+φ(x)以下与解法1相同 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 已知 求出 f (x, y) 的表达式. 解法1 令 f (u,v) 即 f (x, 0) = x, f (x, y) = x (y +1) 解法2 f (x + y, x − y) = (x + y)(x − y) + (x + y) 以下与解法1 相同. ( , ) ( ), 2 2 f x + y x − y = x − y + x + y f (x，0) = x, 则 (x) = x 且 v = x − y , ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 4 1 = u + v − u − v + u 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、多元函数微分法 1分析复合结构显示结构 隐式结构(画变量关系图) 自变量个数=变量总个数-方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2.正确使用求导则 “分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导 注意正确使用求导符号 3.利用一阶微分形式不变性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2设z=xf(x+y),F(x2y,z)=0,其中∫与F分别具 d 有一阶导数或偏导数,求.(99考研) d 解法1方程两边对x求导,得 d d f+xf"·(1+ d y dz dx f+xf X dx dx d d fi+Fl+Fl d z 0 y F dx dx d dx xf f+xf d cFif'-x F2f'-f F? dx xf F3-F2 F2 F3 (xfF3+F2≠0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 设 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 = x z d d ( 0) x f F3 + F2 F3 F2 − x f − = 1 F2 F3 x f − F2 F1 x f f x f − − + 1 2 F2 xF f − x F f − f 有一阶导数或偏导数, 求 f x f x z x y − x f + = + d d d d 2 3 1 d d d d F x z F x y F + = − (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
