米第十节 第十二章 欧拉方程 欧拉方程 +p1 n-1,(n-1) +pny=f(x) (Pk为常数) 令x=e,即t=lnx 常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( 为常数) pk , t 令 x = e 常系数线性微分方程 即t = ln x 第十二章
欧拉方程的算子解法: x"y)+n1xn-y如n)+…pn1xy+pny=f(x) 令x=e1,则t=1nx,则 dy ddt ld d dx dt dx x dt xy dt d,1dy、dt1;d2yd dx2 dt x dt dx dt dt d-y dy y dt dt 计算繁 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
欧拉方程的算子解法: ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − , t 令 x = e 则 = x y d d x t t y d d d d t y x d 1 d = = 2 2 d d x y x t t y t x d d ) d 1 d ( d d ( ) t y t y x d d d 1 d 2 2 2 = − 计算繁! t y x y d d = t y t y x y d d d d 2 2 2 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
记D d d .(k=2,3,…,则由上述计算可知 D d Dy=D(D-Dy 用归纳法可证xy6=D(D-1)…(D-k+1)y 于是欧拉方程 n-1,(n-1) Pm-jxy+pny=f(x) 转化为常系数线性方程 Dy+6,d"y+.+bny=f(e) d +61 +…+bny=f(e d t d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
, d d t 记 D = 则由上述计算可知: x y = Dy x y = D y − Dy 2 2 ( 2, 3, ), d d = k = t D k k k = D(D −1)y 用归纳法可证 x y D D D k y k k ( 1) ( 1) ( ) = − − + 于是欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( ) 1 1 t n n n D y + b D y + + b y = f e − 转化为常系数线性方程: ( ) d d d d 1 1 1 t n n n n n b y f e t y b t y + + + = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程x2y”-2xy+2y=ln2x-2lnx的通解 解:令x=e,则t=lnx,记D d 则原方程化为 d t D(D-1)y-2Dy+2y=t2-21 即(D2-3D+2)y=t2-2t 亦即 d 2y=t-2t dt dt 特征方程r2-3+2=0,其根n=1,n=2, 则①对应的齐次方程的通解为 Y=Ce+c 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设特解:y*=At2+Bt+C 代入①确定系数,得 +-t+ 224 ①的通解为 y=Ce+C2e2+12+t+ 4 换回原变量,得原方程通解为 y=Cx+C2x+In x+Inx+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: y = At + Bt +C 2 代入①确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求方程y 的通解 X X 解:将方程化为x2y”-xy+y=2x(欧拉方程 令x=e,记D=,则方程化为 dt [D(D-1)-D+1)]y=2e7 即(D2-2D+1)y=2e② 特征根:n 设特解:y=At2e,代入②解得A=1,所求通解为 (C1+C2t)e+t (C1+C2Inx)x+xIn x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解: 将方程化为 (欧拉方程) 则方程化为 即 ② 特征根: 设特解: , 2 t y = At e 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设函数y=y(x)满足 xy+ [3y+t'y(]dt=5Inx,x2l 且yx=1=0,求y(x) 解:由题设得定解问题 x2y+xy’+4y=x y(1)=0,y(1)=0 d 令x=e,记D d则③化为 [D(D-1)+D+4]y=5e7 (D2+4)y=5e ⑤ 特征根:r=±2,设特解:y*=Ae,代入⑤得A=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 解: 由题设得定解问题 ③ , t 令 x = e , d d t 记 D = 则③化为 t D D D y e − [ ( −1) + + 4] = 5 t D y e − ( + 4) = 5 2 特征根: r = 2i, 设特解: ④ , t y Ae − = ⑤ 代入⑤得 A＝1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
得通解为 y=C cos 2t+C2 sin 2t +e C cos(2Inx)+C2 sin(2Inx)+ 利用初始条件④得 故所求特解为 cos(2In x)+sin(2In x)+ X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
得通解为 t y C t C t e − = 1 cos 2 + 2 sin 2 + x C x C x 1 cos(2ln ) sin(2ln ) = 1 + 2 + 利用初始条件④得 2 1 1, C1 = − C2 = 故所求特解为 x y x x 1 sin(2ln ) 2 1 = −cos(2ln ) + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考:如何解下述微分方程 (x +a)y+p,(x+a)y+p2y=f(x) 提示:原方程 先令=x+a 直接令 d- y d r+a piu +P2y=f(-a) du 记Dd d t 记D d t [D(D-1)+p1D+p2]y=f(e-a) 作业P3192;6,8 HIGH EDUCATION PRESS △ 第11节目录 下页返回结束
思考: 如何解下述微分方程 提示: 原方程 直接令 作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 t D d d 记 = [ ( 1) ] ( ) D D p1D p2 y f e a t − + + = − t D d d 记 =