第十一节 第十二章 微分方程的幂级数解法 微分方程解法 积分法一只能解一些特殊类型方程 幂级数法一本节介绍 数值解法一计算数学内容 本节内容 阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节 微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题 微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容 本节内容: 第十二章
一阶微分方程问题 d f(,y) dx Jy 其中f(x,y)是x-x及y-y的多项式 幂级数解法:本质上是待定系数法 设所求解为 y=y+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ talx 将其代入原方程比较同次幂系数可定常数a12a2 由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、一阶微分方程问题 ( , ) d d f x y x y = 0 0 y y x x = = ( , ) . 其中 f x y 是 x − x0 及 y − y0 的多项式 幂级数解法: y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) 2 + 将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 , , , a1 a2 由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解. ① 设所求解为 本质上是待定系数法 + an (x − x0 ) n + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程y=x+y2满足yx=0=0的特解 解:根据初始条件,设所求特解为 y=a1x+a2x+…+anxC+ 代入原方程,得 1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x+… x+(a1x+a2x2+a3x2+…) x+a1x2+2a1a2x+(a2+2a1a3)x++… 比较同次幂系数得 0 0,a 20 故所求解的幂级数前几项为y=x2+ 20 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、二阶齐次线性微分方程 y+P(x)y+o(x)y=0 定理设Px),Q(x)在(-R,R)内可展成x的幂级数, 则在-R<x<R内方程②必有幂级数解 ∑anxn (证明略) n=0 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、二阶齐次线性微分方程 定理. 则在－R < x < R 内方程②必有幂级数解: ② 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数, (证明略) 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.求方程x2y-(x+2)(xy-y)=x的一个特解 解:设特解为y=∑anx",代入原方程整理得 7=0 2a+a0x+∑[(n-1)n-2)an-(n-2)an11x”=x4 2 比较系数得:a0=0,6a4-2a3=1 (n-1)n-2)an-(n-2)n1=0(n≥2,n≠4 显然a1,a2可任意取值,因是求特解故取a1=a2=0, 从而得 0,a4 6 当n>4时 h-1n-1 (n-1)(n-2)…4(n-1)! HIGH EDUCATION PRESS ●90 机动目录上页下页返回结束
例2. 2 4 求方程 x y − (x + 2)(x y − y) = x 的一个特解. 解: 设特解为 代入原方程整理得 4 1 2 0 0 2a a x (n 1)(n 2)a (n 2)a x x n n n n + + − − − − − = = 比较系数得: 0, a0 = 6a4 − 2a3 =1 ( 1)( 2) ( 2) 0 ( 2, 4) n − n − an − n − an−1 = n n 可任意取值, 因是求特解, 故取 0, a1 = a2 = 从而得 6 1 0, a3 = a4 = 当n > 4 时, 1 1 1 − − n = n a n a 4 ( 1)( 2) 4 1 a n n − − = = ( 1)! 1 − = n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
因此 ∑anx=∑ X n=0 n! n 注意到x、1n此题的上述特解即为 n=0 y=x( X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
因此 n n x n = − = 4 ( 1)! 1 , ! 1 0 n n x x n e = = ) 2 1 ( 1 2 y x e x x x = − − − 注意到: 此题的上述特解即为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求解勒让德( Legendre)方程 (1-x2)y”-2xy+n(n-1)y=0(m为常数)③ 解:P(x)= 1-x2(()(n-1 2x 都可在(-1,1)内 X 展成幂级数满足定理条件(因其特点不用具体展开它 设方程的解为y=∑akx,代入自 ∑k(k-1)akx-2-∑k(k-1)ax ∑k n(n 1)∑akx=0 k=0 HIGH EDUCATION PRESS 定理目录上页下页返回结束
定理 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 解: 都可在(−1,1)内 求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它). 设方程的解为 , 0 k k k y a x = = 代入③: ③ 2 2 ( 1) − = − k k k k k a x k k k k k a x = − − 2 ( 1) k k k k a x = − 1 2 ( 1) 0 0 + − = = k k k n n a x
整理后得: ∑[(k+2)k+1)ak+2+(n-k)(n+k+1)ak]x k=0 k=0 比较系数,得ak+2 (n-k)(n+k+1) ak(k=0,1,…) (k+2)k+1) 例如 n(n+1 (n-1)(n+2 3! (n-2)(n+2)(n-2)n(n+1)(n+3) 4 3·4 (n-3)(n+4)(n-3)(n-1)(n+2)(n+4) 4.5 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
整理后得: ( 2)( 1) ( )( 1) 0 2 0 + + + + − + + = = k k k k k k a n k n k a x 比较系数, 得 ( 0,1, ) ( 2)( 1) ( )( 1) 2 = + + − + + + = − a k k k n k n k ak k 例如: 2 0 2! ( 1) a n n a + = − 3 1 3! ( 1)( 2) a n n a − + = − 4 2 3 4 ( 2)( 2) a n n a − + = − 0 4! ( 2) ( 1)( 3) a n − n n + n + = 5 3 4 5 ( 3)( 4) a n n a − + = − 1 5! ( 3)( 1)( 2)( 4) a n − n − n + n + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
ao2a1可以任意取于是得勒让德方程的通解: y=a n(n+1)、2(n-2)n(n+1)n+3)Ax (n-1)(n+2) 3! (n-3)(n-1)(n+2)(n+4) x+ <X< 上式中两个级数都在(-1,1)内收敛,它们是方程的 两个线性无关特解 作业P3231(1)(4);22) HIGH EDUCATION PRESS △ 第12节目录 下页返回结束
于是得勒让德方程的通解: + − + + + + − = 0 2 4 4! ( 2) ( 1)( 3) 2! ( 1) 1 x n n n n x n n y a + − + − + 3 1 3! ( 1)( 2) x n n a x + − − + + + 5 5! ( 3)( 1)( 2)( 4) x n n n n (−1 x 1) 上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 0 1 a , a 可以任意取, 它们是方程的 两个线性无关特解. 作业 P323 1 (1),(4); 2(2) 第12节 目录 上页 下页 返回 结束