第十二章 微分方程 已知y=f(x),求y—积分问题 推广 已知含y及其若干阶导数的方程,求y 微分方程问题
微分方程 第十二章 已知 y = f (x),求 y — 积分问题 已知含 y及其若干阶导数的方程 ,求 y — 微分方程问题 推广
第一节 第十二章 微方程的基本欐念 几何问题 引例 物理问题 微分方程的基本概念 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章
引例1一曲线通过点(1,2)在该曲线上任意点处的 切线斜率为2x,求该曲线的方程 解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式 d x d Vx= 2 ② 由①得y=J2dx=x2+C(C为任意常数 由②得C=1,因此所求曲线方程为y=x2+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: x x y 2 d d = ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 1. 2 因此所求曲线方程为 y = x + 2 y x=1= ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
引例2.列车在平直路上以20m/s的速度行驶,制动时 获得加速度a=-0.4m/2,求制动后列车的运动规律 解:设列车在制动后t秒行驶了s米,即求s=s( 0.4 已知 dt ds t=0 0 dt t=0 0 由前一式两次积分可得s=-02n2+C1t+C2 利用后两式可得 C1=20, 0 因此所求运动规律为=-0.21+20t 说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住,以及制动后行驶了多少路程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例2. 列车在平直路上以 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 0 , s t=0 = 由前一式两次积分, 可得 1 2 2 s = − 0.2t +C t +C 利用后两式可得 因此所求运动规律为 s 0.2 t 20 t 2 = − + 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
微分方程的基本概念 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 常微分方程(本章内容) 分类 偏微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶 一般地,n阶常微分方程的形式是 F(x,y,y,…,y)=0 或 f(,y,y )(n阶显式微分方程) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( , , , , ) 0 ( ) = n F x y y y ( , , , , ) ( ) ( −1) = n n y f x y y y ( n 阶显式微分方程) 微分方程的基本概念 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束
微分方程的解一使方程成为恒等式的函数 通解一解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 特解一不含任意常数的解其图形称为积分曲线 定解条件—确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件(或初值条件) y(x0)=y0,y(x0)=y, (n-1) (n-1) dy 引例1{d 引例!212=-04 d y =0 t=0一0dt|t=0 20 通解:y=x2+C S=-0.212+C1t+C2 特解: y=x-+1 s=-0.2t2+20t 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
0 , s t=0 = 20 d 0 d = t t= 引例 s 2 0.4 2 2 d d = − x y — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 ( 1) 0 0 ( 1) 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) − − = = = n n y x y y x y y x y — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 x x y 2 d d = 2 y x=1= 引例1 y = x +C 2 1 2 2 通解: s = −0.2t +C t +C s 0.2t 20t 2 1 = − + 2 特解: y = x + 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.验证函数x=C1 cos kt+C2 sinkt(C1,C2为常数) 是微分方程+k2x=0的解,并求满足初始条件 d xo-d dxl 0的特解 t=0 解 dd -Cik- cos kt -ck- sin kt k(ci sin kt+C2 cos kt)=-kx 这说明x=C1 cos kt+C2 sin kt是方程的解 C1,C2是两个独立的任意常数,故它是方程的通解 利用初始条件易得:C1=A,C2=0,故所求特解为 x=Acos kt HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 验证函数 是微分方程 的解, , x t=0 = A 0 d 0 d = t t = x 的特解 . 解: ( sin cos ) 1 2 2 = −k C kt +C kt 这说明 x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, ( , ) C1 C2为常数 利用初始条件易得: 故所求特解为 x = Acos k t 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q 目线段PQ被y轴平分,求所满足的微分方程 解:如图所示,点P(x,y)处的法线方程为 Y-y (X-x) 令Y=0,得Q点的横坐标 P X=xt yy x+yy=-x,即yy+2x=0 XX 思考与练习P263(习题121) 1;2(3)(4);3(2),4(2),(3);6 HIGH EDUCATION PRESS 第二节目录上页下页返回结束
求所满足的微分方程 . 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q P Q x y o x 解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 yy + 2x = 0 点 P(x, y) 处的法线方程为 且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 P263 (习题12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思考与练习
