第四节 第十一章 西数展开成幂级数 两类问题:在收敛域内 暴级数∑anx,求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容: 、泰勒( Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
泰勒( Taylor)级数 若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数,则在 该邻域内有 f(x)=f(o)+f(xo(x-xo)+ (o(x-so n) (x-x0)”+Rn(x 此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中 R,(= (x-x0)”+(在x与x之间) (n+1) 称为拉格朗日余项 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数,则称 f(x0)+f(x0(x-x0)+ 0 ∴ (x-x0)2+ 为f(x)的泰勒级数 当xo=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题 1)对此级数,它的收敛城是什么? 2)在收敛域上,和函数是否为f(x)? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域∪(xo)内具有 各阶导数则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足: lim r(x)=0. n→> 证明:f(x)=∑ x-x0)”,x∈U(xo) n! (k) ff( k X X-x k=0 k! f(x)=Sn+(x)+Rn( lim R((x)=limn[f(x)-Sn+1(x)]=0,x∈∪(xo) n→)0 n→> HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同 证:设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ n x∈(-R,R) 则 ao=f(O) f(x)=a1+2a2x+…+nanx+…;a1=f(0 f"(x)=2!a2+…+m(n-1)anx”2+…;a2=2f"0 f(x=nlan+ 显然结论成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成幂级数 展开方法直接展开法一利用泰勒公式 间接展开法—利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知,函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下: 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值; 第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R 第三步判别在收敛区间(-R,R)内lmRn(x)是否为 n→>0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数 解:∵∫(m)(x)=ex,f((O)=1(n=0,1,…),故得级数 1+x+-x2+,x+…+—x"+ 其收敛半径为R=linn/(+/s+ n→>0 对任何有限数x,其余项满足 Rn(x)= n+1 n→0 0 (n+1) (n+1) (2在0与x之间) 故 1+x+ —x-+ x1+…,x∈(-∞,+∞) 3! HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解::/((x)=si(x+n:互) f((O) 0 n=2k k (k=0,1,2,…) (-1),n=2k+ 得级数:x-31x2+5 2n-1 2n-1 其收敛半径为R=+∞,对任何有限数x,其余项满足 sin(5+(n+1)分) 7+1 n+1 X Rn(x) n→0 n+1)! 0 n+ n-1 SInX=X +(-1) 2n-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
SInx= x x-+—x +(-1)4-1 2n-1+ (2n-1)! x∈(-∞,+∞) 类似可推出:(P220例3) COSx=1-x+=x 。鲁 +(-1)n-11 (2n) x∈(-∞,+∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= − + −+ − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 类似可推出: + − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x (P220 例3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.将函数f(x)=(+x)展开成x的幂级数,其中m 为任意常数 解:易求出f(0)=1,f(O)=m,f"(0)=m(m-1 f"(0)=m(m-1(m-2)…(m-n+1), 于是得级数1+mx+ mom x-+ m(m-1)…(m-n+ 由于R=limn|= 1m/h+1 = n+1n→>o0m-n 因此对任意常数m,级数在开区间(-1,1)内收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) =1, f (0) = m, f (0) = m(m −1) , f (n) (0) = m(m −1)(m − 2)(m − n +1) , 于是得 级数 1+ mx + + − 2 2! ( 1) x m m 由于 1 lim → + = n n n a a R m n n n − + = → 1 lim =1 + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束