米第五节 第九章 含参变量的积分 被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*第五节 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第九章
被积函数含参变量的积分 设f(x,y)是矩形域R=[a,b]×[a,月上的连续函数, 则积分f(x,y)dy确定了一个定义在a,b上的函数 记作 P(x)=f(x,y)dy x称为参变量,上式称为含参变量的积分 含参积分的性质—连续性,可积性,可微性 定理连续性)若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×[a, 上连续,则由①确定的含参积分在[a,b上连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、被积函数含参变量的积分 设 f (x, y)是矩形域 R = [a,b][,] 上的连续函数, 则积分 f (x, y)d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 = (x) f (x, y)d y x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理1.(连续性) 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ] 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. — 连续性, 可积性, 可微性 : ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证:由于f(x,y)在闭区域R上连续所以一致连续,即 任给G>0,存在δ>0,对R内任意两点(x1,n1),(x2y2) 只要x-x20,存在8>0,当△x<δ时,就有 (x+Ax)-p(x)F SPL(x+Ax,y)-f(x,y)]dy CPIf(+Ax, y)-f(x, y)ldy<e(B-a) 这说明(x)在[a,b]上连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证: 由于 f (x, y) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 任给 0,存在 0, ( , ), ( , ), 1 1 2 2 对R内任意两点 x y x y 只要 x1 − x2 , y1 − y2 就有 ( , ) − ( , ) 1 1 2 2 f x y f x y 因此,任给 0, 存在 0,当x 时, 就有 (x + x) −(x) = + − [ f (x x, y) f (x, y)]d y + − f (x x, y) f (x, y) d y 这说明 (x)在[a,b]上连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1表明定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的即对任意xo∈[a,b B B lim f(, y)dy= lim f(x,y)dy x→>xa 同理可证,若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×[a,B上连 续,则含参变量的积分 )=/b f(, y)dx 也在[a,上连续 由连续性定理易得下述可积性定理: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. [ , ], 即对任意 x0 a b → f x y y x x lim ( , )d 0 → = f x y y x x lim ( , )d 0 同理可证, 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ]上连 续, = b a ( y) f (x, y)d x 则含参变量的积分 也在[, ]上连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理:
定理2(可积性)若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×(,6 上连续则(x)=f(x,y)dy在ab上可积,且 B p(x)dx=U f(x, y)dy]dx=J,f(x,y)dxdy 同样vO)2J(x1)dx在,月上可积,且 w(y)dy=SP[S(x, y)dx]dy=J, f(,y)dxdy 推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积序 即 b, rB B rb dx f(x,y)dy=dyl f(x,y)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. (可积性) 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ] 上连续, = 则(x) f (x, y)d y 在[a,b]上可积,且 = D f (x, y)d xd y 同样, = b a ( y) f (x, y)d x 在[, ]上可积,且 = D f (x, y)d xd y 推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.(可微性)若f(x,y)及其偏导数fx(x,y)都在 B 矩形域R=[ab1×(,月上连续,则x)-J f(x, ydy 在[a,b]上可微,且 d rB B q(x)= f(x,y)dy=」fx(x,y)dy dxa B 证:令g(x)=(x,y)dy则g(x)是[ab上的连续 函数故当x∈[,b]时, &(r)dx= ∫( x,y)d y dx B f(x,ydx dy aJax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. (可微性) f (x, y) f (x, y) 若 及其偏导数 x 都在 矩形域 R = [a,b][,]上连续, = 则(x) f (x, y)d y 在[a,b]上可微,且 = f x y y x x ( , )d d d ( ) = f x y y x ( , )d 证: 令 ( ) ( , )d , = g x f x y y x 则g(x)是[a,b]上的连续 函数, 故当x[a,b]时, x a g(x)d x f x y y x x x a ( , )d d = f x y x y x a x ( , )d d = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
g(x)dx==[[(x, D)-f(a, y)ldy (x)-0(a) 因上式左边的变上限积分可导因此右边0(x)可微,且有 rA a x(r,y)d 0(x)=8(x)=fx 此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时,求导与求积运算是可以交换顺序的 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= f (x, y) − f (a, y) d y =(x) −(a) 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 (x)可微， 且有 (x) = g(x) = x a g(x)d x = f x y y x ( , )d 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求Ⅰ X -X dx(osa<b) o Inx 解:由被积函数的特点想到积分: b y16 xd y nx Inx 7=dx)xdy(x2在0]×n6上连续) y+1 X dy xdx d 0 y+1」0 b 1 b+1 d y=In a1+1 a+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. d (0 ). ln 1 0 x a b x x x I b a − = 求 解: x y b a y d 由被积函数的特点想到积分: a b y x x = ln x x x b a ln − = I x x y b a y d d 1 0 = y x x y b a d d 1 0 = y y b x a y d 1 0 1 1 + = + y y b a d 1 1 + = 1 1 ln + + = a b (x 在[0,1] [a,b]上连续) y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求Ⅰ= 1 In(1+x dx 1+x 解:考虑含参变量t的积分所确定的函数 In(1+tx) p(t) d 1+x 显然 In(1+tx) 在[0,1×[0,1上连续,9(0)=0,0(1)=l, 1+ 由于q′(t)= dx 0(1+x2)(1+tx) X dx 1+t 1+x21+x21+tx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. d . 1 1 ln(1 ) 0 2 x x x I + + 求 = 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 d . 1 ln(1 ) ( ) 1 0 2 x x x t + + = t 显然, [0,1] [0,1] , 1 ln(1 ) 2 在 上连续 + + x t x (0) = 0,(1) = I, 由于 x x t x x t d (1 )(1 ) ( ) 1 0 2 + + = x t x t x t x x t d 1 1 1 1 1 2 1 2 0 2 + − + + + + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
[In(1+x)+t arctan x-In(1+tx) 1+t212 In2+t-In(+t 1+t212 4 故=0(1)-0511 b/[n2+t-l04+)lt 1 In(1+t) In 2 actant In(1+t dt 08 0J01+t In2-I 因此得 I=In 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
ln(1 ) arctan ln(1 ) 2 1 1 1 2 2 x t x t x t + + − + + = 0 1 ln(1 ) 4 ln 2 2 1 1 1 2 t t t + − + + = I =(1) −(0) t t t t ln(1 ) d 4 ln 2 2 1 1 1 2 1 0 + − + + = 0 1 ln 2arctan 2 1 = t 0 1 2 ln(1 ) 8 + + t t t t d 1 1 ln(1 ) 0 2 + + − = ln 2 − I 4 故 ln 2 8 因此得 I = 机动 目录 上页 下页 返回 结束