第二节 第四章 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章
基本思路 设F'(u)=f(n),=0(x)可导,则有 dFl(x]=fio(xlo(x)dx flo(x)lo(x dx=F[o(x)]+C=F(u+Clu=p(x =f()u=o(x) 第一类换元法 ∫/o(x)(xdx f() du 第二类换元法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第二类换元法 第一类换元法 f [(x)](x)dx f (u)du 基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 F(u) f (u), u (x) 可导, f [(x)] (x)dx F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u ( ) ( ) C u x F u dF[(x)] f [(x)](x)dx 则有
第一类换元法 定理1.设f()有原函数,=(x)可导,则有换元 公式 [p(x)lo (x dx= f(u)du u=o(x) flo(x)lo(x)dx=l f(o(x)do(x) (也称配元法,凑微分法) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u (x)可导, 则有换元 公式 f [(x)] (x)dx f (u)du u (x) f ((x))d(x) (也称配元法 即 f [(x)] (x)dx , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1求∫ax+b)dx(m≠=1) 解:令u=ax+b,则du=adx,故 原式=umdu n2+ +c a m+1 (ax +b) alm+ 1) 注:当m=-1时 d Inax+b+C ax+b a HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求 ( ) d ( 1). ax b x m m 解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故 原式 = m u u a d 1 a 1 u C m m 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 m ax b a m C 注: 当m 1时 ax b d x ax b C a ln 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2求∫2 dx 想到公式 du 解: dx 1+l 1+(x)2 arctan+c 令=-,则dl=-dx d I r du arctan +C a1+u a X --arctan(-)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2 2 1 ( ) 1 d a x x a 例2. 求 . d 2 2 a x x 解: 2 2 d a x x , a x 令 u 则 x a u d 1 d 2 1 u du a 1 u C a arctan 1 C a x a arctan( ) 1 想到公式 2 1 d u u arctan u C ( ) a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 (a>0) na 解: y0 d d( arcsin -+C 想到∫dn arcsin+ f((x)]q(x)dx=|f((x)do(x)(直接配元) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求 ( 0). d 2 2 a a x x 2 1 d u u 想到 arcsin u C 解: 2 1 ( ) d a x a x f ((x))d(x) (直接配元) f [(x)] (x)dx 2 1 ( ) d ( ) a x a x C a x arcsin 2 2 d a x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求「 tan xdx 解: tan xdx SInx dcos x COSX COS x -In cosx+C 类似 cos xdx cdsin x cot xdx sIn x sIn x In sinx+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 求 tan d . x x 解: x x xd cos sin x x cos dcos ln cos x C cot d ? x x x x x sin cos d ln sin x C x x sin dsin tan xdx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似
例5求2 dx 解 1(x+a)-(x-a) Ca (x-a(+a) 2ax-a x+ x 原式 2 aex-a x+a d(x-a rd(+a 2a x+a LIn x-a-In x+a]+c n C 2a xtol+c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
C x a x a a ln 2 1 例5. 求 . d 2 2 x a x 解: 2 2 1 x a (x a)(x a) (x a) (x a) 2a 1 ) 1 1 ( 2 1 a x a x a ∴ 原式 = 2a 1 x a x x a dx d 2a 1 x a d(x a) 2a 1 ln x a ln x a C x a d(x a) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
常用的几种配元形式: (1)f(ax+b)dx=- f(ax+b)d(ax+b) d (2)「f( n\n-1 d f(x")d (3)f()dx=t[f(x")dx" 万能凑幂法 (4)∫ (sin x )cos xdx=∫/sinx)dmx (5)f(cos x ) sin xd f(cos x)dcos x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常用的几种配元形式: (1) f (ax b)dx f (ax b) d(ax b) a 1 f x x x n n (2) ( ) d 1 ( ) n f x n dx n 1 x x f x n d 1 (3) ( ) ( ) n f x n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 (4) f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x (5) f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(6)∫/(an0dxya)danx (7)I f(e )e 'dx=l f(e)de (8)f( x)dx= f(In x)dIn x dx 例6求」 x(1+2In x) 解:原式= dIn x 1+2In x 2∫4 (1+2lnx) 1+2Inx In 1+2Inx +C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(6) f (tan x)sec xdx 2 f (tan x) dtan x f e e x x x (7) ( ) d ( ) x f e x de x x f x d 1 (8) (ln ) f (ln x) dln x 例6. 求 . (1 2ln ) d x x x 1 2ln x dln x 解: 原式 = 2 1 2ln x 1 d(1 2ln x) ln 1 2ln x C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
