第四章 不定积分 微分法:F'(x)=(?) 互逆运算 积分法:(?)=f(x)
第四章 微分法: F(x) = ( ? ) 积分法: ( ? ) = f (x) 互逆运算 不定积分
第一节 第四章 不定积分的栊念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章
原函数与不定积分的概念 引例:一个质量为m的质点,在变力F= a sint的作 下沿直线运动,试求质点的运动速度v() 根据牛顿第二定律,加喜贴》 n 因此问题转化为:已知v(t)=-sint,求v(t)=? 定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)为/(x) 在区间Ⅰ上的一个原函数 如引例中,sint的原函数有-cost,--cost+3,… 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 ( ) sin t , m A v t = 求 v(t) = ? 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, t m A sin 的原函数有 cos t, m A − − cost + 3, m A
问题: 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,它如何表示? 定理1.若函数f(x)在区间上连续,则f(x)在I上 存在原函数 (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证:1)∵(F(x)+Cy=F(x)=f(x) F(x)+C是f(x)的原函数 2)设Φ(x)是f(x)的任一原函数,即 d'(r)=f(r) 又知 F'(x)=f(x) [Φ(x)-F(x)=Φ(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C(C0为某个常数) 即Φ(x)=F(x)+C属于函数族F(x)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [(x) − F(x)] = (x) − F(x) = f (x) − f (x) = 0 故 0 (x) = F(x) +C ( ) C0为某个常数 即 0 (x) = F(x) +C 属于函数族 F(x) +C . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即
定义2.f(x)在区间I上的原函数全体称为f(x)在I 上的不定积分,记作「f(x)dx,其中 ∫一积分号f(x)一被积函数 (P183) x—积分变量;f(x)dx一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 f(x)dx=F(x)+C(C为任意常数) 例如,「edx=ex+C C称为积分常数 dx=ix+c 不可丢! sin xdx cosx +c HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, = e x x d e C x + = x dx 2 x +C 3 3 1 = sin xdx − cos x +C 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
不定积分的几何意义 f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 ∫/(x)dx的图形f(x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族 y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 f (x)dx 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. y o x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线
例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解 y=2xdx=x'+c y 所求曲线过点(1,2),故有 2=12+C C=1 因此所求曲线为y=x2+1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 1 2 y = x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x (1, 2)
例2质点在距地面x处以初速1垂直上抛,不计阻 力,求它的运动规律 解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上 质点抛出时刻为t=0,此时质点位置为x,初速为v 设时刻t质点所在位置为x=x(t),则 dx=(1)(运动速度) dt x=x(t 再由此求x(1) d=x dy dt2dr=9(加速度) 先由此求vO HIGH EDUCATION PRESS 10°a8
o x 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , (0) 0 x = x x = x(t) 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 ( ) d d v t t x = (运动速度) t v t x d d d d 2 2 = = −g (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)
先求v(t).由 dy 9, 知 X dt v(O)=|(-9)dt=-9t+C1 x=x() 由v(0)=v,得C 故 x(0) v()=-9t+v 再求x()由 gt+v 知 dt x()=(9+)t=-29+v+C2 由x(O)=x0,得C2=x,于是所求运动规律为 x()=-9t2+V0t+x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
先求 由 知 v(t) = ( − g)dt C1 = −gt + (0) , 0 由v = v , 1 0 得C = v 0 v(t) = −gt + v 再求 x(t) ( t v )dt = − + 0 g 0 2 2 2 1 = − gt + v t +C (0) , 0 由x = x , 2 0 得C = x 于是所求运动规律为 0 0 2 2 1 x(t) = − gt + v t + x 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 o x (0) 0 x = x x = x(t)
