第三节 第二章 高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章
高阶导数的概念 引例:变速直线运动s=s() ds 速度ν 即 dt dv d ds 加速度a= dtdt dt 即 a=(S HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、高阶导数的概念 速度 即 v = s 加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.若函数y=f(x)的导数y′=f(x)可导,则称 f(x)的导数为f(x)的二阶导数,记作y"或y,即 dx y"=(y)或 d y d dy d 2 dx dx 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作 dy d4 或 d d dx d HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y = f (x) 可导, 或 即 y = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设y 0+a1+a2x+…+anxn 求 解 y=a1+2a2x+ 3a3x+.+nanx y=2·la2+3:2a3x+…+n(n-1)anxn2 依次类推,可得 思考:设y=x"(为任意常数),问p0)=? )()=(-1)-2)…(m-n+1)xn HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
设 求 解: y = a1 +2a2 x + −1 + n n na x y = 21a2 + a x 3 2 3 2 ( 1) − + + − n n n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3 a x 例1. 思考: 设 (为任意常数), y = x 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2设y=e,求ym 解: ax a ear 3 ax de C已 (n) n ax 特别有:(e)m=e2 例3设y=ln(1+x),求y X 1.2 解:y 1+x (1+x (1+x) yn=(1)y1(n-1) x 规定0!=1 思考:y=m(1-x),y1)=-(n-1) x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
n (1+ x) , , y = a 3 e ax 例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y = ae , 2 ax y = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y + = , (1 ) 1 2 x y + = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y + = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y − = − 1 1 y = − 2 (1 ) 1 − x , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.设y=sinx,求 解 cOS x=sin(x+2) y=CoS(x+T )=sin(x+2+2) Sin(x+2·z y=cos(x+2.) 2)=Sn(x+3 一般地,(sinx))=sin(x+n·2) 类似可证 (cosx)y0)=cos(x+n·) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 设 求 解: y = cos x sin( ) 2 = x + cos( ) 2 y = x + sin( ) 2 2 = x + + sin( 2 ) 2 = x + cos( 2 ) 2 y = x + sin( 3 ) 2 = x + 一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 n ) 2 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.设y= e x sin bx(a,b为常数),求y() 解:y′= ge sin bx+ bex cos bx e“( a sin bx+ bcos bx) ax b e a'+b sin(bx+)(9=arctan y"=Va+b [ae sin(bx+o)+ bex cos(bx+) Naltb2earva+b sin(bx+ 2p) b n)=(a2+b2)2 x sin(bx+no)(=arctan HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例5 . 设 y e bx ax = sin 解: y = ae bx + ax sin e (asin bx bcos bx) ax = + (a,b为常数), 求 . (n) y be bx ax cos ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 bx a b b bx a b a a b + + + + cos sin ax = e sin( ) 2 2 a + b bx + ( arctan ) a b = 2 2 y = a + b ( ) 2 2 2 ( ) n n y = a + b ax a b e 2 2 = + ( arctan ) a b = sin( 2 ) 2 2 a + b bx + e sin(bx n) ax + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6设f(x)=3x3+x2x,求使f(0)存在的最高 阶数n=2 分析:f(x)= 4x3,x≥0 2x3,x0-x 12x2x≥0 f(0)=lim 4x'-0 0 f(x)=16x,x0-x f"(x) 12x 2x.x0+x 但是f"0)=12,f1(0)=24,∴f"(0)不存在 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例6. 设 ( ) 3 , 3 2 f x = x + x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析: f (x) = 4 , x 0 3 x 2 , x 0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0 − = → − − = 0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0 − = → + + = 0 x 0 x 0 f (x) = 12 , 2 x 6 , 2 x f− (0) = x x x 2 0 6 lim → − = 0 f+ (0) = x x x 2 0 12 lim → + = 0 f (x) = 但是 (0) =12 , − f (0) = 24 , + f f (0) 不存在 . 2 又 24x, x 0 12x , x 0 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶导数的运算法则 设函数=(x)及ν=v(x)都有n阶导数,贝 1.(±y)=t")±v C)(C为常数) (n) (n) (n-1) n(n 3.() uv+nu (n-1)…(n-k+1 ∴ (n),() +∴+l 莱布尼兹 Leibniz)公式 HIGH EDUCATION PRESS 推导目录上页下页返回结
二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + + 莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及 推导 目录 上页 下页 返回 结束
例.y=x2e2x,求y(0) 解:设=e2x,y=x2,则 2ke2x(k=1,2,…,20) y (k)=0 (k=3,…,20) 代入莱布尼兹公式,得 20)=2e2.x2+20·2e-·2x×<0.19 82x y 202x (x2+20x+95) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例7. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v = 2x , v = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2 x x e 19 2 + 20 2 2x 2 ! 2019 + 2 x e 18 2 2 ( k =1, 2 , , 20 ) (k = 3 , , 20) 机动 目录 上页 下页 返回 结束