同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第三章 微分中值定理与导数的应用（3.1）中值定理

第三章 微分中值定理 与导数的应用 罗尔中值定理 推广 中值定理拉格朗日中值定理 泰勒公式 柯西中值定理 (第三节) 应用{研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题

第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用

第一节 第三章 中值定理 罗尔( rolle)定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西( Cauchy)中值定理 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

一、罗尔( Rolle )定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章

罗尔(Roe)定理 费马 fermat引理 y=f(x)在∪(x0)有定义, f(xo=0 且f(x)≤f(x0),f(x0)存在 (或≥) 证:设x+△x∈∪(x0),f(x0+△x)≤f(xo), f(o+Ax)-f(xo) 0 o 则f(x0) △x->0 f(x)≥0(△x->0-) f(xo)=o f1(x)≤0(△x→>0+) 证毕 HIGH EDUCATION PRESS

费马(fermat)引理 一、罗尔( Rolle )定理 ( ) , 在 x0 有定义 且 ( ) 0 f (x)  f (x0 ), f  x 存在 (或) ( ) 0 f  x0  证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x  x x f x  x  f x 则 ( ) 0 f  x x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0  ( 0 )   f (x0 ) x ( 0 )   f (x0 ) x  0  0 ( ) 0 f  x0  x y o 0 x y  f (x) 费马 目录 上页 下页 返回 结束 证毕

罗尔( Rolle)定理 y=f(x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b上连续 O 2)在区间(a,b)内可导 b (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点ξ,使∫(2)=0 证:因f(x)在[a,b上连续,故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m 若M=m,则f(x)=M,x∈[a,b 因此v∈(a,b),f()=0 学 HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

罗尔（ Rolle ）定理 y  f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )  , 使 f ( )  0. x y o a b y  f (x)  证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x)  M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( )  0 . 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等, 不妨设M≠f(a),则至少存在一点∈(a2b)使 ∫()=M,则由费马引理得f(5)=0. 注意: 1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如, 0<x<1 f(x)= 0 X f(x)=x f(x=x x∈[0,1 O O HIGH EDUCATION PRESS ◎令08 机动目录上下臾返回结束

若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M  f (a) , 则至少存在一点  (a,b), 使 f ( )  M , f ( )  0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,        0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 1 x y o 则由费马引理得 [ 1,1] ( )    x f x x [0,1] ( )   x f x x 1 x y 1 o 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导,且 lim f(x)=lim f(x) x→a x→>b 在(a,b)内至少存在一点,使∫"(5)=0 f(a), x=a 证明提示:设F(x)=1f(x),a<x<b f(6 r=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上贞下臾返回结束

使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y  f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且    lim f (x) x a lim f (x) x b   在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( )  0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x)  f a x  a  ( ), f (x), a  x  b f b x  b  ( ), 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证:1)存在性 设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在[0,1连续,且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在x0∈(0,1),使 f(x0)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性 假设另有x1∈(0,1),x≠x,使f(x1)=0,…f(x)在以 0,x1为端点的区间满足罗尔定理条件,∴在x,x之间 至少存在一点点,使∫()=0 但f(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1),矛盾,故假设不真! 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

例1. 证明方程 5 1 0 5 x  x   ( ) 5 1, 5 f x  x  x  f (0) 1, f (1)  3. ( ) 0, f x0  (0,1), , 1 1 0 x  x  x ( ) 5( 1) 4 f  x  x   0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0  使 即方程有小于 1 的正根 . 0x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1   f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点  , 使 f ( )  0. 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束

拉格朗日中值定理y y=f(x) y=f(x)满足 (1)在区间[a,b]上连续 O (2)在区间(a,b)内可导 b x 至少存在一点ξ∈(an,b),使f()= f(b)-f(a) f(b)-f(a b-a 证:问题转化为证f"(2) 0 b-a 作辅助函数(x)=f(x) f(b)-f(a) b 显然,0(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 p(a) bf(a-af(b (b),由罗尔定理知至少存在一点 b 5∈(a,b),使(2)=0,即定理结论成立证毕 HIGH EDUCATION PRESS 拉氏目录上贞下负返回结束

二、拉格朗日中值定理  ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y  f (x) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点  (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f       x y o a b y  f (x) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 (x)  f (x) x b a f b f a    ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点  (a,b), 使( )  0, 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b    ( ) ( ) 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 0 ( ) ( ) ( )      b a f b f a f  证毕

拉格朗日中值定理的有限增量形式 令a=x0,b=x+△x,则 Ay=f(x0+6Ax)Ax(0<6<1) 推论:若函数f(x)在区间Ⅰ上满足f(x)=0,则f(x) 在Ⅰ上必为常数 证:在I上任取两点x12x2(x1<x2),在[x12x2]上用拉 日中值公式,得 f(x2)-f(x1)=f(5)x2-x1)=0(x1<5<x2) f(x2)=f(x1) 由x1,x2的任意性知,f(x)在I上为常数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 f (x)  0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证: 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x  x 在[x1 , x2 ]上用拉 日中值公式 , 得 f (x2 )  f (x1 )  f ( )(x2  x1 )  0 ( ) 1 2 x    x ( ) ( ) 2 1  f x  f x 由 的任意性知, 1 2 x , x f (x)在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y  f  x0  x x   , , 0 0 令 a  x b  x  x 则  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.证明等式 arcsin x+ arccos x∈[-1,1 2 证:设f(x)= arcsinx+ arccos,则在(-1,1)上 X 0 √1-x2 由推论可知f(x)= arcsinx+ arccos=C(常数) 令x=0,得C 又f(士1) 故所证等式在定义域[-1,1上成立 经验:欲证x∈I时f(x)=C0,只需证在上f(x)=0 且彐x0∈l,使f(x)=C0 自证: arctan x+ arc cot x=x,x∈(-∞,+∞) 2 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束

例2. 证明等式 , [ 1,1]. 2 arcsin x  arccos x  x   证: 设 f (x)  arcsin x  arccos x , 则在(1,1)上 f (x)  由推论可知 f (x)  arcsin x  arccos x  C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2  C  又 , 2 ( 1)  f   故所证等式在定义域 [1,1]上成立. 自证: , x(,  ) 2 arctan arccot  x  x  2 1 1 x 2 1 1 x   0 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x  只需证在 I 上 f (x)  0, , 0 且  x  I ( ) . 0 C0 使 f x  机动 目录 上页 下页 返回 结束