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同济大学:《高等数学》课程教学资源(PPT课件讲稿,第五版)第一章 函数与极限习题课

一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
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第一章 习氨保 妈数与极限 函数 二、连续与间断 三、极限 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 连续与间断 一、 函数 三、 极限 习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数与极限 第一章

函数 1.函数的概念 定义:设DcR,函数为特殊的映射: ∫:D—f(D)cR 定义域值域 其中f(D)={yy=f(x,x∈D 图形 f(x) C={(x,y)y=f(x),x∈D (一般为曲线) O D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

y y = f (x) x o D 一、 函数 1. 函数的概念 定义: 定义域 值域 图形: ( 一般为曲线 ) 设 函数为特殊的映射: 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性 3.反函数 设函数∫:D→f(D)为单射,反函数为其逆映射 f:f(D)→D 4.复合函数 给定函数链∫:D1→>f(D g:D→>g(D∈D 则复合函数为f°g:D→>f[g(D 5初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 f f D → D − : ( ) 1 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 f  g : D → f [g(D)] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个表达式的函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3x+1.x<1 例1.设函数f(x)= ,求几f(x x≥ 解: 3f(x)+1,f(x)<1→x<0 fff(x) f(x),f(x)≥1 3(3x+1)+ 9x+4.x<0 3x+1,0≤x<1 X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 设函数 , , 1 3 1, 1 ( )     +  = x x x x f x    f [ f (x)] = 3 f (x) +1, f (x) 1 f (x) , f (x) 1 x  0     = 9x + 4 , x  0 3(3x +1) +1 0  x 1 x , x 1 求 f[ f (x)]. 解: 3x +1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2设f(x)+f(x)=2x,其中x≠0,x≠1求f(x 解:利用函数表示与变量字母的无关的特性 即x 代入原方程得 (1)+f()=12,即f(1)+f()=2 令 即x=1,代入上式得 f(1)+f()=20,即/(12)+/()=2x 画线三式联立 f(x)=x+-+ X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . , 1 x x t − = , 1 1 t x − = 代入原方程得 , 1 1 1 u u x − − = 代入上式得 设 其中 求 令 即 即 令 即 画线三式联立 即 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习 1.下列各组函数是否相同?为什么? (1)f(x)=cos(2 arccos x)与(x)=2x2-1,x∈[-1,1 相同 (2)x)=1xx50与0()=1(a+x-(a-x 相同 0.x0 与q(x)=f[f(x) 相同 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

思考与练习 1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么? (1) f (x) = cos(2arccos x) ( ) 2 1, [ 1,1] 2 与 x = x − x −      = a x a x x a f x , , (2) ( )   2 ( ) 2 1 与(x) = a + x − a − x      = , 0 0, 0 (3) ( ) x x x f x 与(x) = f [ f (x)] 相同 相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么? (1)y 不是 sinx-1 (2)y=max{sinx2cosx},x∈[O2]是 (3)y= arcsin u,l=2+x2不是 cos x 0<x< 4 提示:(2)y= sinx, z<x≤ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么? sin 1 1 (1) − = x y (2) max sin , cos , [0, ] 2   y = x x x 2 (3) y = arcsin u , u = 2 + x 不是 4 0  cos x,  x  4 2   sin x,  x  是 不是 提示: (2) y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.下列函数是否为初等函数?为什么? (1)f(x)=/x,x≥0 X -x,x0 X1 1,I>/3+11)2 x≠ (4)f(x)= x>0 x∈R 1+x3,x≤0 以上各函数都是初等函数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结

   +  −  = 1 , 0 1 , 0 (4) ( ) 3 3 x x x x f x     −  = 1, 0 1, 0 (2) ( ) x x f x      = 4, 1 2, 1 (3) ( ) x x f x , 2 x x = x y o 4 2 1 ⑶     −  = + 1, 1 1, 1 3 x x 1 ( 1) 3 2 − − = + x x 1 , 6 = − x o x y 1 −1 ⑵ x  0 x  1 xR 3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?    −   = , 0 , 0 (1) ( ) x x x x f x 2 = x x y 1 ⑷ 以上各函数都是初等函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.设f(x)=ex,f[(x)=1-x,且q(x)≥0,求(x) 及其定义域 x≥8 5.已知f(x) f[f(x+5),x<8 求f(5) 6设f(snx+-1)=csc2x-cos2x,求f(x) sIn x 4.解::f(x)=e,∴(x)=2() 由 X 得(x)=√m(1-x),x∈(-∞,0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

4. 设 ( ) , [ ( )] 1 , ( ) 0, 2 f x = e f x = − x x  x  且 求 (x) 及其定义域 . 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 由 得 (x) = ln(1− x) , x(−,0] x 4. 解: x  (x)  (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x≥8 5.已知f(x) /f(x+5),x<8 求f(5) 解:f(S)=f[f(10)]=f(10-3)=f(7)=f[f(12)] f(12-3)=f(9)=6 6设f(snx+-)=csc2x-cos2x,求f(x) sIn x 解:∵:f(six+) SInx Sin2+sinx-I sin x+ SInx f(x)=x2-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

= f[ ] 5. 已知    +  −  = [ ( 5)], 8 3, 8 ( ) f f x x x x f x , 求 f (5). 解: f (5) f (10) = f ( ) = f (7) = f [ ] = f ( ) = f (9) = 6 6. 设 ) csc cos , sin 1 (sin 2 2 x x x f x + = − 求 f (x). 解: (sin ) sin 1 2 sin 1 sin 1 2 f x + = + x − x x  (sin ) 3 2 sin 1 = + − x x ( ) 3 2  f x = x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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