第四节 第三章 函数的单调性与 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间内可导,若∫(x)>0 (f(x)0,x∈任取x1,x2∈I(x10 5∈(x1,x2)∈1 故∫(x)<∫(x2).这说明f(x)在/内单调递增 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕
例1.确定函数∫(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解:f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)x-2) 令∫(x)=0,得x=1,x=2 x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞) f(x)+ 0 f(x) 故f(x)的单调增区间为(-∞。,1),(2,+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: l)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 例如,y x,x∈(-∞,+∞ y 33/x =0=∞0 2)如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如,y=x3,x∈(-∞,+∞) O y 0 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2证明0<x≤n时成立不等式r2 证:令f(x) sInx X 则f(x)在(0,如上连续,在(0,=)上可导,直 x. cOSx-SInx COsx f(x) 2(x-tan x)<0 tanx 因此f(x)在(0,)内单调递减, 又f(x)在处左连续因此/(x)2(7)=0 从而 x∈(0,] 2 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 证明 上页下页返回结味
例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x − = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明 目录 上页 下页 返回 结束
二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续,x1,x2∈I, (1)若恒有f(+2)<(x)+f(x2) 则称f(x)的 图形是凹的 (2)若恒有f(2f(x1)+f(x2),则称f(x)的 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 O HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理(四凸判定法)设函数f(x)在区间/上有二阶导数 (1)在/内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的;七 (2)在/内f(x)0时,x片(2>f(+x),说明(1)成立 2)证毕 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕
例3.判断曲线y=x的凹凸性 解:y=4x3,y”=12x2 当x≠0时,y>0;x=0时,y”=Q 故曲线y=x在(-∞,+∞)上是向上凹的0x 说明: 1)若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下: 若曲线y=f(x)在点x连续,f"(x)=0或不存在, 但f"(x)在x两侧异号,则点(x,f(x)是曲线 y=f(x)的一个拐点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动 上页下页返回结束
例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y = x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4求曲线y=3x的拐点 解:1%3m2孓 9 (-∞,0)0(0,+∞) xyy 不存在 凹 0 凸 因此点(0,0)为曲线y=3x的拐点 X HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
例4. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1 − y = x 3 5 9 2 − y = − x x y y (−,0) 0 (0,+ ) 不存在 0 + − 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例求曲线y=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点 解:1)求 12x3-12 〃=36x 2)求拐点可疑点坐标 令y"=0得x1=0 对应 3327 3)列表判别 x(-∞,0)0(0 + y + 0 y凹 故该曲线在(,0)及(3,+)上向上叫在(0,3)上 向上凸,点(0,1)及(3,均为拐点 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
36 ( ) 3 2 = x x − 例5. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y 12 12 , 3 2 y = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 + y x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 + 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2
