十 无穷级嶽 数项级数 无穷级数幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具研究性质 数值计算
无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十一章
第一节 第十一章 常数项级数的欐念和性质 常数项级数的概念 无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 A*四、柯西审敛原理 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章
常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,…)边形设a0表示 内接正三角形面积,a表示边数 增加时增加的面积,则圆内接正 3×2”边形面积为 c0+a1+a2+…+an n→>∞时,这个和逼近于圆的面积A 即 A=a0+a1+al2+…+an+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束
引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减 半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理 由自由落体运动方程S=gt知t 设L表示第k次小球落地的时间,则小球运动的时间为 T=t1+2t+2t3+ +2 81+2(2+1)≈263(s) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2 g 2 1 s = t 知 g 2 s t = 则小球运动的时间为 1 T = t 2 2 + t 2 3 + t + = g 2 1 + 2 1 2 2 ( 2) 1 + + 1 2 2 = + g ( 2 +1) 2.63 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义:给定一个数列12l2,l32…,ln,…将各项依 次相加简记为∑n即 n=1 un=u1++u3+.tu n= 称上式为无穷级数其中第n项硎n叫做级数的一般项 级数的前n项和 l1++l23+.+l2 k=1 称为级数的部分和.若 lim s=S存在,则称无穷级数 收敛,并称S为级数的和,记作 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 , 1 n= n u 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
∑ n=1 若limS,不存在,则称无穷级数发散 n->00 当级数收敛时,称差值 n+1+1ln+2+ 为级数的余项.显然 lim〃,=0 n→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论等比级数(又称几何级数) ∑ a1 arag+aq-+…+n"+…(a≠0 n=0 (q称为公比)的敛散性 解:1)若q≠1,则部分和 =a+aq+aq2+…+01 a-d 当q1时,由于limq=∞,从而 lim s=∞ n→00 n→0 因此级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)若q|=1,则 当q=1时,Sn=na→>∞,因此级数发散 当q=-1时,级数成为 a-a+a-a+…+(-1)n-1a+ a,n为奇数 因此S n=10,n为偶数 从而imSn不存在,因此级数发散 n→00 综合1)、2)河知,q<1时等比级数收敛; q21时等比级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性 n+1 (1)∑ln n(n+1 解:(1) n+1 h=1n;+n。+In+……+hn =(a2∈i)(23-h2++(m+)-lmy) =ln(n+1)→>∞(n→>∞) 技巧 所以级数(1)发散 利用“拆项相消”求 和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
∴ 1.22.33.4 n(n+ 1) 2 3(3、4y nn+1 →>1(n->∞) +1 所以级数(2)收敛其和为1 技巧 利用“拆项相消”求 和 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + + + + + = n n Sn = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . + − 3 1 2 1 + − 4 1 3 1 + + + − 1 1 1 n n 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 机动 目录 上页 下页 返回 结束