《矩阵理论—知识点详解》第六章 广义逆矩阵（6.1）矩阵的单边逆

第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆矩阵

1矩阵的单边逆 定义1设A∈Cm,如果有G∈Cm,使得 GA= E n 则称G为的左逆矩阵记为G=4 如果G=Em 则称G为4的右逆矩阵记为G=A

1 矩阵的单边逆 定义1 , . −1 则 称G为A的左逆矩阵 记 为G = AL GA= En 设 AC mn ,如果有GC nm ,使 得 如果 AG = Em , . −1 则 称G为A的右逆矩阵 记 为G = AR

定理1设A∈Cmn,则 (1)A左可逆的充要条件是为列满秩矩阵 (2)右可逆的充要条件是4为行满秩矩阵 证充分性:A为列满秩→ AA为满秩矩阵(4H4)-14HA=En G=(4A)AGA=E,→A左可逆 必要性:42A=En→

证 充分性：1 ( ) H H G A A A− = 定理1 (1) A左可逆的充要条件是A为列满秩矩阵; 设 AC mn ，则 (2) A右可逆的充要条件是A为行满秩矩阵. A为列满秩 A H A为满秩矩阵 n H H A A A A = E −1 ( ) GA= En A左可逆 必要性： AL A = En −1

rank(A)2 rank(A>I d =rank(En)=n rak(4)=n→A为列满秩 推论1设A∈CmN,则 (1)A左可逆的充要条件是(A)=0} (2)4右可逆的充要条件是R(A)=Cm 证充分性:N(4)=0}→Ax=0只有零解 rank(4)=n→A为列满秩 必要性:A左可逆 LL A=En

( ) ( ) 1 rank A rank AL A −  = rank(En ) = n rank(A) = n A为列满秩 推论1 设 AC mn ,则 (1) A左可逆的充要条件是N(A) = {0}; (2) ( ) . m A右可逆的充要条件是R A = C 证 充分性：N(A) = {0} Ax = 0只有零解 rank(A) = n A为列满秩 必要性：A左可逆 AL A = En −1

vx∈N(4)→x=En=A(Ax)=AL0=0 N(A)={0} 初等变换求左(右)逆矩阵: E G (1)P(AEm)=0 (2) 0=Em 0 G

x  N(A) ( ) 1 x E x A Ax n L − = = 0 0 1 = = − AL N(A) = {0} 初等变换求左(右)逆矩阵:         = 0 * (1) ( ) E G P A E n m         =         * 0 (2) G E Q E A m n

例1设矩阵4为 1-2 A=01 00 求4的一个左逆矩阵 解 1-2 00 (AE3)=01010 00001

例 1 设矩阵A为           − = 0 0 0 1 1 2 A . −1 求A的一个左逆矩阵AL 解 :           − = 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 ( ) A E3

01 120 120 0 010→→A L 0000 010 例2设矩阵A为 12-1 A 0-12 求的一个右逆矩阵成l

        = − 0 1 0 1 2 0 1 AL           0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 例 2 设矩阵A为 . −1 求A的一个右逆矩阵AR         − − = 0 1 2 1 2 1 A

解 12 100 0-12 0-12 100→1-21 E3 010 010 001 00 100 100 0-10 010 12 1-2-312-3→A=|0-1 012 0-12 00 001 001

解 :                 − − =        0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 1 2 1 E3 A                 − − 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0                 − − − 0 0 1 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 0 0                 − − 0 0 1 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 0 0           = − − 0 0 0 1 1 2 1 AR

定理2设A∈Cm是左可逆矩阵则 G=(4-BA24,B)P 是4的左逆矩阵其中B∈CX(m-m)为任意矩阵行 初等变换对应的矩陴满足P4=(41是n阶可 逆方矩阵 证:GA=(A1-BA241,B) 三上n

定理2 1 1 1 2 1 G A BA A B P ( , ) − − = − 设 AC mn 是左可逆矩阵,则 初等变换对应的矩阵 满 足 A 是n阶 可 A A P PA 1 2 1 ,         = 是A的左逆矩阵, 其 中BC n(m−n) 为任意矩阵.行 逆方矩阵. 证: = En 1 1 1 1 2 1 2 ( , ) A GA A BA A B A − −   = −    

定理3设A∈Cm是右可逆矩阵则 G=g4-4242D D 是4的右逆矩阵其中D∈C(nm)m为任意矩阵列 初等变换对应的矩陶满足4Q=(412)41是m阶 可逆方矩阵

定理3         − = − − D A A A D G Q 2 1 1 1 1 设 AC mn 是右可逆矩阵,则 初等变换对应的矩阵Q满足AQ = (A1 A2 ), A1 是m阶 是A的右逆矩阵, 其 中DC (n−m)m 为任意矩阵.列 可逆方矩阵