复变函数与积分变换 第四章 4 解析函数的级数表示
复变函数与积分变换
41复数项级 Q一、复数列的极限 二、复数项级数的概念
§4.1 复数项级数 一、复数列的极限 二、复数项级数的概念
、复数列的极限 1.定义设{n}(n=1,2,)为一复数列其中 n=xn+n,又设石=x+i为一确定的复数 若>0,自然数N,当n>N时,有zn-石p(n→>) 若数列zn}不收敛,则称{n}发散
一、复数列的极限 1.定义 若 0, 自然数N, . 0 n N z − z 当 时，有 n , 0 收敛于z 记作 0 lim z z n n = → 设{z } (n = 1,2, )为一复数列,其中 n , n n n z = x + iy , 又设z0 = x0 + i y0 为一确定的复数 { }n 则称复数列 z ( ). 或 zn → z0 n→ 若数列{ }不收敛，则称 { }发散. n n z z { } . 或称 zn 以z0 为极限
2复数列收敛的条件 定理复数列{n}(n=1,2,)收敛于z0的充要条件是 lim=Xo, limy=yo n→0 n→0o 证如果imzn=z,则vE>0,3N>0,当n>N时, n→0 (xn+n)-(x+)々S 0 同理 lim y=yo n→0
2.复数列收敛的条件 { }( 1,2, ) 定理 复数列 zn n = 收敛于z0的充要条件是 lim , 0 z z n n = → 如果 则 0, N 0, 当n N 时, ( ) ( ) , 0 0 x + iy − x + iy n n 证 ( ) ( ) , 0 0 0 x − x x − x + i y − y 从而有 n n n lim . xn x0 n = → lim . 0 y y n n = → 所以 同理 lim , lim . 0 0 x x y y n n n n = = → →
反之,如果 limx=x0, lim y=y 那么当n>N时, eslym-yo/e 从而有n-0=(xn+n)-(x+ =(xn-xo)+i(m-yo ≤xn-x+yn-y<, 所以imzn= 证毕 n→ 该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性
. 2 , 2 0 0 xn − x yn − y 反之, 如果 lim , lim , 0 0 x x y y n n n n = = → → 那么当n N 时, 从而有 ( ) ( ) 0 0 0 z z x iy x iy n − = n + n − + ( ) ( ) 0 0 x x i y y = n − + n − 该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. lim . 0 z z n n = → 所以 [证毕] , 0 0 x − x + y − y n n
例1下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限 (1)zn=(1+-)e";(2)n= cosin T 解(1)因为n=(1+)e"=(1+n)cos+ isin-) 所以xn=(1+)cos",yn=(1+-)sin n 而 limx=1,imyn=0.数列收敛,且 lime=1 n→0 n→0 n→0 n (2)由于zn= n cosin= nle te 当n→∞时,n→>0,所以数列发散
n i n e n z ) 1 (1)因 为 = (1+ 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. ) ; 1 (1) (1 n i n e n z = + )sin . 1 (1 n n yn , = + π )cos 1 (1 n n 所以xn = + 而 lim = 1 , lim = 0. → → n n n n x y 解 例1 )(cos sin ), 1 (1 n i n n + = + (2) z ncosin . n = 数列收敛, lim = 1 . → n n 且 z (2) 2 ( ) cos n n n n e e z n i n − + 由 于 = = 当 n → 时, 所以数列发散. → , n z
课堂练习 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 1+ni (1) n 2n 十 1-nin 1+n 1+n ai→-1(m→0) (2)zn=(-1)+; n+1 发散 nTt (3)zn=-e cos sIn n 2 2 >0(→>∞)
课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. ; 1 1 (1) ni ni zn − + = ; 1 (2) ( 1) + = − + n i z n n . 1 (3) 2 n i n e n z − = i n n n n zn 2 2 2 1 2 1 1 + + + − = → −1(n → ). 发散 2 sin 1 2 cos 1 n n i n n zn = − → 0 (n → )
、复数项级数的概念 1.定义设{n}={xn+yn}(n=1,2,)为一复数列 表达式∑zn z,=孔1十z十…+Z,+ 称为复数项无穷级数 部分和其最前面n项的和Sn=1+22+…+Zn 称为级数的部分和
二、复数项级数的概念 1.定义 设{z } = {x + y }(n = 1,2, )为一复数列, n n n = + ++ + = n n n z z z z 1 2 1 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 n n s = z + z ++ z 1 2 称为级数的部分和. 部分和
收敛与发散 如果部分和数列{Sn}收敛,那么级数∑z收敛 H=1 并且极限lmsn=s称为级数的和 如果部分和数列sn}不收敛那么级数∑发散 hE 说明 与实数项级数相同,判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 利用极限 lim s=s n→0
收敛与发散 如果部分和数列{ }收敛, n s , 1 那么级数 收 敛 n= n z 并且极限lim s s 称为级数的和. n n = → 说明: lim s s. n n = → 利用极限 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是: 如果部分和数列{ }不收敛, n s . 1 那么级数 发 散 n= n z
例如级数∑": n=0 Sn=1+z+z2+…+z1= (z≠1) 由于当<1时,imsn=im~2"_1 所以当z<1时级数收敛
, : 0 n= n 例如 级数 z 2 -1 1 n n s = + z + z ++ z 由于当 z 1时, ( 1), 1 1 − − = z z z n z z s n n n n − − = → → 1 1 lim lim , 1 1 − z = 所以当 z 1时级数收敛