行列式 第二节全排列及其逆序数 概念的引入 二、全排列及其逆序数 三、小结思考题
王-、概念的引入 引例用1、2、3三个数字,可以组成多少个没 有重复数字的三位数? 解 123 百位1□□2圆3□3种放法 牛+位2口3口 2种放法 生个①23 1种放法 共有3×2×1=6种放法 上页
一、概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 百位 1 2 3 3种放法 十位 1 2 1 3 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 共有 3 21 = 6 种放法
二、全排列及其逆序数 间题把n个不同的元素排成一列,共有几种不 同的排法? 定义把n个不同的元素排成一列,叫做这n个 元素的全排列(或排列) n个不同的元素的所有排列的种数,通常 用P表示 由引例P3=321=6 同理P=n·(n-1)·(n-2)…3·2·1=n 上页
二、全排列及其逆序数 同的排法？ 问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个 元素的全排列（或排列）. n n 个不同的元素的所有排列的种数，通常 用 表示. n Pn 由引例 P3 = 3 2 1 = 6. 同理 Pn = n (n − 1) (n − 2) 3 2 1 = n!
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序,n个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 定义在一个排列(i2…i…i…i)中,若数 i,>i,则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中, 工工工 逆序 逆序逆序 上页
在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. ( ) t s n i i i i i 1 2 t s i i 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序
定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数 例如排列32514中, 0 01 ③2s14 1逆序数为3 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5 上页
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 1 逆序数为3 0 0 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 计算排列逆序数的方法 方法1 工工工 分别计算出排在1,2,…,n-1,n前面比它大的数 王码之和即分别算出12…n1-1,n这n个元素 的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 上页
计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 1,2, ,n −1,n 1,2, ,n −1,n n 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数, 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 王序数 中例1求排列32514的逆序数 工工工 解在排列32514中, 3排在首位逆序数为0 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 上页
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 32514 工工工 103 于是排列32514的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5 上页
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1+ 0 + 3 + 1= 5. 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
例2计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇 偶性 (1)217986354 解21⑦986354 010013445 工工工 t=5+4+4+3+1+0+0+1+0 18 此排列为偶排列. 上页
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. (1) 217986354 解 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 0 0 1 3 4 4 5 t = = 18 此排列为偶排列. 5 + 4 + 4 + 3 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0
(2)以(n-1)n-2)…32l 解 n-1 (n-1n-2)321 n t=(n-1)+(n-2)+…+2+1 n(n-1) 2 当n=4k,4k+1时为偶排列; 当n=4k+2,4+3时为奇排列 上页
(2) n(n − 1)(n − 2)321 解 ++ 2 + 1 ( ) , 2 − 1 = n n 当 n = 4k,4k +1 时为偶排列； 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列. t = (n −1) + (n − 2) n(n −1)(n − 2)321 n −1 (n − 2)
