第一节数列极限的概念 冯永平 Fypmthagzhu.edu.cn 合
第一节 数列极限的概念 冯永平 Fypmth@gzhu.edu.cn
、概念的引入 1、割圆术: “割之弥细, 所失弥少, 0.5 割之又割, 以至于不可割, -0.5 0.5 则与圆周合体 0.5 而无所失矣” 刘徽
“割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体 而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入
正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 R 正6×2形的面积An 4,,A,A 19412 39
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
2、截丈问题: “一尺之棰,日截其半,万世不竭” 第一天截下的杖长为X、=21,1 第二天截下的杖长总和为X2=2+2 第n天截下的杖长总和为X, —+— X.=1 2
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1
∴、数列的定义 定义:接自然教1,2,3 编号依次排列的列教 (1) 称为羌数列,简称数列 其中的每个数称为数列 的项~,称为通顶(题 顶)数列(1记为夏m} 2,4,8,…,2 例如1111 482
二、数列的定义 定 义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn ,(1) 称为无穷数列,简称数列. 其中的每个数称为数列 的项, xn 称 为通 项(一 般 项).数列(1)记为 {xn } 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n
n+1 n 99 14n+(-1) n+(-1) 23 注意:1数列对应着数轴上一个点列可看作 动点在数轴上依次取x1,x2,…,xn, 24 2数列是整标函数xn=∫(
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + −
、数列的极限 观察数列{+(1D"}当n→>∞时的变化趋势 1.75 1.25 1 0.75 0.5 .25 12
} . ( 1) {1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 三、数列的极限
问题:当n无限增大时,是否无限接近手某 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面的观察: 当n无限增大时,xn=1+ (-)-无限接近于1 问题:“无限接近意味着什么?如何用数学语言刻划它 11
问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 通过上面的观察：
给定 ,由100时,有xn-、1 100 100 给定 1000只要 n>1000时,有xn-1100,oxn-100 给定E>0,只要n>N(=[时,有xn-1<8成立 8
, 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 1000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn 100 1 给定
定义如果对于意给是的 正数(不论包多么小),总存 在正数N,使得对手N时 的 个等式 都成,那末就称常数是数 列的校限,或者称数列 收效于“,记为 lima =a? 或 如果数列没有极限就说数列是发散的 注意:1不等式xn-a<E刻划了xn与的无限接近; 2N与任意给定的正数有关國□圆
定 义 如果对于任意给定的 正 数 (不论它多么小),总 存 在正数N ,使得对于n N 时 的一切xn ,不等式 xn − a 都成立,那末就称常数a 是 数 列 xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为 lim xn a, n = → 或 xn → a (n → ). 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 1.不等式x a 刻划了x 与a的无限接近; n n − 2.N与任意给定的正数有关