广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿，第三版）第一章 实数集与函数（1.2）数集与确界原理

§2数集·确界原理 教学内容: 区间与邻域;有界集与确界原理 重点:区间与邻域的概念,确界定乂与确界原理 要求:正确理解数集上下确界与数集上下界的定义, 本节先定义R中两类重要的数集——区间与邻域,然后讨论有 界集并给出确界定乂与确界原理 区间与域: 区间: {xa<x<b}称为开区间,记作(a,b)

1 §2 数集·确界原理 教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。 本节先定义 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有 R 界集并给出确界定义与确界原理。 a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a  x  b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, {x a  x  b}

{xa≤x≤b}称为闭区间,记作[a x≤x<b}称为半开区间,记作a,b)

2 a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a  x  b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, {x a  x  b} a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a  x  b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, {x a  x  b} a b a b §2 数集. 确界原理 一 区间与邻域: 区间 ： 记作 (a,b) {x a  x  b} 记作[a,b] 称为开区间, 称为闭区间, {x a  x  b} a b {x a  x  b} 称为半开区间, 记作[a,b)

{xa<x≤b}称为开区间,记作(ab 无限区间 a,+∞)={xa≤x}

3 a b o a { x a  x  b} 称为半开区间, 记作 (a,b] 无限区间 [a,+) ={x a  x}

[a2+∞)={xa<x} x (∞,b)={xx<b

4 x o a o b x [ a ,+ ) = { x a  x } (− , b ) = { x x  b } (− , +  ) x

邻域 定义1(邻域的定义)a是一实数,δ>0(读作 delta),称数集 a)={x|x-a<b}={xa-8<x<a+8} a+ 有时我们仅仅研究点附近(不包含a点)的情况,需要使用到所谓去心 邻域的概念. 定义2去心邻域的定义)称数集 U8(a)=U(a)\{a}={x|0<|x-a<b} 为点a的去心δ邻域.(见下页示图)

5 邻域 定义1（邻域的定义） 是一实数,  0(读作delta),称数集 有时我们仅仅研究点 附近(不包含 点)的情况,需要使用到所谓去心 邻域的概念. 定义 2 去心邻域的定义)称数集 为点 的去心 邻域. a− a x a+   a− a x a+   （见下页示图）

人 a+6

6 x   a− a a+

二有界数集.确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界,有界)设S为实数R上的一个数集,若存在一个数M(L) 使得对一切x∈S都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集。 若集合S既有上界又有下界,则称S为有界集 例如,闭区间、(a,b)(a,b为有限数)、邻域等都是有界数集,集合 E={y=sinx,x∈(-∞,+∞)也是有界数集 无界数集:若对任意M>0,存在x∈S,|x|>M,则称S为无界集。 例如,(-∞,+∞),(-∞,0),(0,+∞),有理数集等都是无界数集 例1证明集合E={y|y=,x∈(0,1)是无界数集

7 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x  S 都有 x  M (x  L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。 例如，闭区间、( , ) ( , a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = y y = sin x, x( − , +  ) 也是有界数集. 无界数集: 若对任意 M  0 ，存在 x S x M   , | | ，则称 S 为无界集。 例如，( − , +  ) , ( −  , 0 ), ( 0 , +  )，有理数集等都是无界数集, 例 1 证明集合       = = ,  ( 0 ,1 ) 1 x x E y y 是无界数集

证明:对任意M>0,存在x=1 ∈(0,1),y=-∈E,y=M+1>M M+1 x 由无界集定义,E为无界集。 确界,先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上 界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界,记作supS;同样,有下 界数集的最大下界,称为该数集的下确界,记作infS。 上确界 上界 M1 M2 下界 下确界 m2 m1

8 证明：对任意 M  0 , 存在 1 1 (0,1) , , 1 1 x y E y M M M x =  =  = +  + 由无界集定义，E 为无界集。 确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上 界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 inf S 。 M M1 M2 上确界 上界 m2 m m1 下界 下确界

确界的精确定义 定义2设S是R中的一个数集,若数n满足一下两条: (1)对一切x∈S有x≤m,即n是数集S的上界 (2)对任意E>0,存在x∈S使得x>η-ε(即η是S的最小上界) 则称数η为数集S的上确界。记作m=supS n-8 定义3设S是R中的一个数集,若数ξ满足一下两条: 1)对一切x∈S有x≥5,即5是数集S的下界;

9 确界的精确定义 定 义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： （1） 对一切 x  S 有 x  ， 即  是数集 S 的上界； （2） 对任 意  0 ，存 在 x0  S 使 得  −  0 x （ 即 是 S 的最小上界）， 则称数 为数集 S 的上确界。记作  = sup S 定 义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： 1）对一切 x  S 有 x   ， 即  是数集 S 的下界； 2）对任 意  0 ，存 在 x0  S 使 得   +  0 x （ 即 是 S 的最大下界）， 则称数 为数集 S 的下确界。记作  = inf S   −  0 x 0 x   +  S 确界的精确定义 定 义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： （1） 对一切 x  S 有 x  ， 即  是数集 S 的上界； （2） 对任 意  0 ，存 在 x0  S 使 得  −  0 x （ 即 是 S 的最小上界）， 则称数 为数集 S 的上确界。记作  = sup S 定 义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： 1）对一切 x  S 有 x   ， 即  是数集 S 的下界； 2）对任 意  0 ，存 在 x0  S 使 得   +  0 x （ 即 是 S 的最大下界）， 则称数 为数集 S 的下确界。记作  = inf S   −  0 x 0 x   +  S

2)对任意E>0,存在x∈S使得x<5+E(即ξ是S的最大下界), 则称数ξ为数集S的下确界。记作=infS 例1(1)S={1+ 1y.则sp S inf s (2)E={|y=smx,x∈(0n)}则 sup E infe= 定理11(确界原理).设S为井空数集,若S有上界,则S必有上确界 若S有下界,则S必有下确界。 证明 例2并空有界数集的上(或下)确界是唯一的

10 确界的精确定义 定 义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： （1） 对一切 x  S 有 x  ， 即  是数集 S 的上界； （2） 对任 意  0 ，存 在 x  S 0 使 得  −  0 x （ 即 是 S 的最小上界）， 则称数 为数集 S 的上确界。记作  = sup S 定 义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： 1）对一切 x  S 有 x   ， 即  是数集 S 的下界； 2）对任 意  0 ，存 在 x  S 0 使 得   +  0 x （ 即 是 S 的最大下界）， 则称数 为数集 S 的下确界。记作  = inf S   −  0 x 0 x   +  S 确界的精确定义 定 义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： （1） 对一切 x  S 有 x  ， 即  是数集 S 的上界； （2） 对任 意  0 ，存 在 x  S 0 使 得  −  0 x （ 即 是 S 的最小上界）， 则称数 为数集 S 的上确界。记作  = sup S 定 义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数  满足一下两条： 1）对一切 x  S 有 x   ， 即  是数集 S 的下界； 2）对任 意  0 ，存 在 x  S 0 使 得   +  0 x （ 即 是 S 的最大下界）， 则称数 为数集 S 的下确界。记作  = inf S   −  0 x 0 x   +  S 例 1 （1） , ( 1 ) 1   − = + n S n 则sup S = ______, inf S = _______ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = ________, inf E = _________ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S  A. 则有 sup S  sup A, inf S  inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x  A 和y  B, 都有 x  y, 则有 sup A  inf B. 证 x  A 和y  B, 都有 x  y,  y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界  sup A  y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A  inf B（B 的最大 下界） 例 1 （1） , ( 1 ) 1   − = + n S n 则sup S = ______, inf S = _______ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = ________, inf E = _________ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S  A. 则有 sup S  sup A, inf S  inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x  A 和y  B, 都有 x  y, 则有 sup A  inf B. 证 x  A 和y  B, 都有 x  y,  y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界  sup A  y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A  inf B（B 的最大 下界） 确