§3有理函数的不定积分 有理函数的不定积分内容 1)有理函数的部分分式分解 2)有理函数的不定积分 难点:有理函数的部分分式分解 要求:掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法 第一换元法,第二换元法,分部积分法。灵活的应用 它们,就可以求出许多不定积分 有理函数是指两个多项式的商表示的函数:
1 §3 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分内容： 1）有理函数的部分分式分解 2）有理函数的不定积分 难点：有理函数的部分分式分解 要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法 第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用 它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数：
Pix 卫-1 Cx+L1x“ 0 +5,r … 先介绍代数学中两个定理: 定理1(多项式的因式分解定理)任何实系数多项式总那个可以 唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积: Qx)=b(x-a)2…(x-b)(x2+px+q)3…(x2+r+ 2
2 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以 唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： k l s r Q(x) b (x a) (x b) (x px q) (x rx h) 2 2 0 = − − + + + +
定理2(部分分式展开定理): P(x) Al A … Q(x)(x-a)(x-a)2 A-c B B B (x-b)(x-b) (x-b) Px+ 1 2x+ x2+px+q(x+px+9)2+…+ Px+el (x2+yx+9)+ x十+2+…、B2x+且2 R1x+1 Rx+A …十 (x +rx +h) (x+rx +r)
3 定理2 （ 部分分式展开定理）：
因此有理函数的积分问题就归结为计算 dx 与 Mx+w N X-c (x+px +q 2x-1 例1.求不定积分 x2-5x+6 2x-1 B 将被积函数按部分分式分解:-2 x2-5x+6x-2x-3 两边同乘(x-2)(x-3 2x-1=A(x-3)+B(x-2) 比较同次项系数:
4 因此有理函数的积分问题就归结为计算 与 例 1. 求不定积分 将被积函数按部分分式分解： 两边同乘 比较同次项系数：
A+B=2 13A+2B=7解此方程组得:A==3,B=5 由此得到: 2x-1 5x+6x-3x-2 所以 2x-1 dx ax= ln (x+3 I+c 5x+6 X X (x+2) 例2 2x +4x +9x-10 dx x5+x4-5x3-2x2+4x-8 解将分母分解因式(x-2(x+2)2(x2-x+1)
5 解此方程组得： A = -3 ，B = 5 由此得到 ： 所以 例 2 解 将分母分解因式
因此可分成部分分式 2x+-x32+4x2+9x-10 Dx+E x3+x4-5x3-2x2+4x-8x-2x+2(x+2) +1 两边同乘(x-2)(x+2)2(x2-x+1) 比较同次项系数得 2x-x3+4x2+9x-10=A(x+2)2(x2-x+1+B(x-2)(x+2(x2-x+1 +C(x-2)(x2-x+1)+(Dx+B)(x-2)(x+2)
6 因此可分成部分分式 两边同乘 比较同次项系数得 (*)
B+A+D=2 E+2D+C-B+3A=-1 从而得方程组 3C+2E-4D-3B+A=4 3C-4E-8D+4B=9 4A-2C-4B-8E=-10 解此方程组得 A=1B=2C=-1D=-1E=1 从而: 2x4-x3+4x2+9x-10 X x5+x4-5x3-2x2+4x-8 =」 Ddx x-2x+2(x+2)2x2-x+1 In x-21+21n x+2+--In(x-x+1)+arct X x+2 x-2|(x+2)2 actg 十 √x2-x+1x+23
7 解此方程组得： A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1 从而得方程组： 从而：
上述的待定系数法有时可用较简便的方法(如用赋值法) 去代替,例如可将x的某些特定值(如ρ(x)=0的根,再选 择一些特殊值,如:x=0,±1等)代入(*)式,以便得 到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例,若分别用 x=2,x=-2代入(*)式,立即可得:A=1,B=2,再 选择:x=0(A=1,B=2)代入(*)式,可得: 10=-4-2C-8E (1) 以x=1(4=1,B=2)代入(*)式得: 4=3-2C-18(D+E)(2); 以x=-1(4=1,B=2)代入(*)式得:1=9C+3(E-D)(3 解由(1)、(2)、(3)联立方程组得:C=-1,D=-1,E=1
8 ( ) 0 , 0, 1 * 2 2 * 1 2, : 0 ( 1 2 * -10 -4-2C-8E 1 x 1( 1 2 x Q x x x x A B x A B A B = = = = − = = = = = = = = = 上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法） 去代替，例如可将 的某些特定值（如 的根 再选 择一些特殊值，如： 等）代入（ ）式，以便得 到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用 ， 代入（ ）式，立即可得： ， 再 选择 ， ）代入（ ）式，可得： （ ）； 以 ， ）代入（* 4 3 2 18 2 x 1( 1 2 * 1 9 3 3 . 1 2 3 1, 1, 1. C D E A B C E D C D E = − − + = − = = = + − = − = − = ）式得： （ ）（ ）； 以 ， ）代入（ ）式得： （ ）（ ） 解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：
小结: 、有理函数的原函数一定是初等函数; 2、求有理函数不定积分的步骤: 1)、若被积函数是有理假分式,则通过多项式除法,把它化成 多项式+有理真分式; 2)、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之 和,用比较系数法或赋值法求出各待定系数 3)、求出各个简单分式的不定积分, 则有理函数的不定积分=多项式的不定积分(若是有理假分式, 则必有此项积分)+各个简单分式的不定积分
9 小结： 1、有理函数的原函数一定是初等函数； 2、求有理函数不定积分的步骤： 1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成 多项式+有理真分式； 2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之 和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。 3）、求出各个简单分式的不定积分， 则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式， 则必有此项积分）+各个简单分式的不定积分