§2无穷积分的性质与收敛判别 教学内容: 1.无穷积分的性质 2.无穷积分收敛的判别 教学重点:无穷积分的比较判别法与柯西判别法 教学难点:应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分 说明:以下只给出[f(x)的性质及收敛判别,其它两种情形类似可得。 无穷积分的性质 设(2f(x刘J。f(x)收敛与否取决于F(u)当→+∞时 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 1.无穷积分收敛的柯西准则
§2 无穷积分的性质与收敛判别 教学内容： 1. 无穷积分的性质 2. 无穷积分收敛的判别 教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。 教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。 一. 无穷积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设 = ，则 收敛与否取决于 当 → +时 + F u f x dx f x dx F u u a u a ( ) ( ) ( ) ( ) 说明：以下只给出 的性质及收敛判别，其它两种情形类似可得。 + a f (x)dx 1. 无穷积分收敛的柯西准则
定理1:无穷积分f(x)收敛的充要条件是:任给E>0 存在G≥a,只要l1、2>G,便有 f(x)dx- f(x)dx ∫ f(x)dx<a 2.无穷积分的性质 +a + 性质1:若」f(x)与。(x)(都收敛,k、k为任意常数,则 ∫。f(x)+k(x也收敛,且 ∫。 [k,fi(x)+k2f2(x)dx=k,. fi(x)dx+k2.f2(x)dx (1) a 性质2:若/在任何有限区间an可积,a<b,则(xk与 「。f(x)d同敛态(即同时收敛或同时发散),且有 ∞ f(x)dx=f(x)dx+,f(x)dx (2) 其中右边第一项是定积分
定理11.1： − = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 u u u a u a a f x dx f x dx f x dx G a u u G f x dx 存在 ，只要 、 ，便有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 2. 无穷积分的性质 + + + + + + + = + + a a a a a a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k f x k f x dx f x dx f x dx k k [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 也收敛，且 性质1： 若 与 都收敛， 、 为任意常数，则 性质2： 其中右边第一项是定积分。 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与 + + + + = + a b b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f a u a b f x dx ( ) ( ) ( ) (2) ( ) [ , ] ( )
3.无穷积分收敛的充要条件 无穷积分∫。f(x)收敛的充要条件是:任给>0 存在G≥a,只要u>G,总有 f(x)dx<8 u 4.无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分∫。1(x)收敛,则称「。f(x)为绝对收敛; 若∫/(x)发散,而f(x)收敛,则称∫(x)为 a 条件收敛。 性质3:若/在任何有限区间a1可积,则有厂(x)收敛,则 ∫。f(x)亦必收敛,且有 + f(x)d o If(x)ldx (3)
3. 无穷积分收敛的充要条件 + + u a f x dx G a u G f x dx ( ) ( ) 0 存在 ，只要 ，总有 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ， 4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 若无穷积分 收敛，则称 为 + + a a f (x) dx f (x)dx 若 发散，而 收敛，则称 为 + + + a a a f (x) dx f (x)dx f (x)dx 绝对收敛； 条件收敛。 性质3： + + + + a a a a f x dx f x dx f x dx f a u f x dx ( ) ( ) (3) ( ) [ , ] ( ) 亦必收敛，且有 若 在任何有限区间 上可积，则有 收敛，则
说明:性质3指出:绝对收敛的无穷积分必收敛,但反之未必。 (今后举例说明) 二.无穷积分敛散性的判别 条件:当f(x)≥0时 1.无穷积分收敛的充要条件 无穷积分f(x)k收敛的充要条件是:「f(x)hk有上界 2.无穷积分收敛的比较判别法 (1)不等式形式 定理112:设定义在[a,+∞)上的两个非负函数g都在任何 有限区间[a,u上可积,且满足 f(x)≤g(x),x∈[a,+∞) 则(1)当「g(x)收敛时,(x)必收敛 (2)当。f(x)b发散时,8(x)必发散
说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明） 二. 无穷积分敛散性的判别 条件：当f (x) 0时 1. 无穷积分收敛的充要条件 + u a a 无穷积分 f (x)dx收敛的充要条件是： f (x)dx有上界 2. 无穷积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.2： （ ）当 发散时， 必发散。 则（）当 收敛时， 必收敛； ， 有限区间 上可积，且满足 设定义在 上的两个非负函数 和 都在任何 + + + + + + a a a a f x dx g x dx g x dx f x dx f x g x x a a u a f g 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ) [ , ] [ , )
定理指出:大收敛则小收敛;小发散则大发散。(与级数类似) 例1:讨论1y本的收敛性 解:先讨论「x的收敛性 01+x 由于 ,x∈[0,+∞),以及 收敛 1+x 1+x 01+x 由定理11.2知道 +oo sin x ax收敛 0 y2绝对收敛,从而厂1如必收敛(性质3 (2)极限形式 推论1:设/和g定义在[a,+∞)上,f(x)≥0,g(x)>0,且它们都在 任何有限区间[a,]上可积,若有limf(x)c则有 g(r
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似） 例1： 讨论 的收敛性。 + 0 + 2 1 sin dx x x 解： 先讨论 的收敛性： + 0 + 2 1 sin dx x x + = + + + + 0 2 2 2 1 2 1 , [0, ) 1 1 1 sin 由于 ，以及 收敛， dx x x x x x + 0 + 2 1 sin 由定理11.2知道 dx收敛。 x x 即 绝对收敛，从而 必收敛。(由性质3） 1 sin 1 sin 0 0 2 2 + + + + dx x x dx x x （2）极限形式 推论1： 任何有限区间 上可积，若有 则有： 设 和 定义在 上 且它们都在 , ( ) ( ) [ , ] lim [ , ) , ( ) 0, ( ) 0, c g x f x a u f g a f x g x x = + →+
)当00)上,f(x)≥0 且在任何有限区间[a,u]上可积,则有
（ ）当 时，由 发散可推知 也发散。 （ ）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （）当 时， 与 同敛态； + + + + + + = + = + a a a a a a c g x dx f x dx c g x dx f x dx c f x dx g x dx 3 ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) 注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 的敛散性要知道； + a g(x)dx 3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数。 特殊地，取 p 可以得柯西判别法 x g x 1 ( ) = 3. 无穷积分收敛的柯西判别法 推论2： 且在任何有限区间 上可积，则有： 不等式形式）设 定义在 上 [ , ] ( [ , )( 0) , ( ) 0, a u f a + a f x
1)当f(x)≤,x∈[a,+∞),且p>时 f(x)a收敛 (2)当(x)≥,x∈[a,+)且P≤时f(x)d发散 推论3:(极限形式)设定义在[a,+∞)(a>0)上,f(x)≥0,在任何 有限区间[a,ul上可积,且mmxf(x)=λ,则有: x→)+O )当>1,0≤<+时f(x)d敛 (2)当≤1,0<λ≤+时,,f(x)d发散 注意:1实际应用中,常用推论3 2用推论3时要找p,使同时满足p及的条件 3找p的时候最好使极限是一个非0的常数 例2:讨论下列无穷积分的收敛性 ; 2)∫ 0 x
（ ）当 且 时 发散。 （）当 且 时 收敛； + + + + a p a p x a p f x dx x f x x a p f x dx x f x , [ , ) 1 ( ) 1 2 ( ) , [ , ), 1 ( ) 1 1 ( ) 推论3： 有限区间 上可积，且 ，则有： 极限形式）设 定义在 上 在任何 = + →+ [ , ] lim ( ) ( [ , )( 0) , ( ) 0, a u x f x f a a f x p x （ ）当 时 发散。 （）当 时 收敛； + + + + a a p f x dx p f x dx 2 1,0 , ( ) 1 1,0 , ( ) 注意：1.实际应用中，常用推论3； 2.用推论3时要找p,使同时满足p及 的条件； 3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例2：讨论下列无穷积分的收敛性 + + − + 0 5 2 1 1 1 (2) dx x x x e dx （） x ；
解:例子中被积函数都是非负函数,所以可用推论3 (1)因为对任意实数都有limx2xex=im2=0 x→)+⑥O x→)+ 此时p=2,λ=0,所以由推论3得(1)对任何实数a均收敛 (2)因为lmx%.x2 x→)+∞ x3+1 此时p=1,2=1所以由推论3得(2)是发散的。 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法 条件:适用于f(x)g(x)x(其中及g为一般函数) 1.无穷积分收敛的狄利克雷判别法 定理113:(狄利克雷判别法) 若F()=(x)在a+)上有界,g(x)在a+∞)上 当x→+∞时单调趋于0,则f(x)g(x)d收敛
解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3 此时 ， 所以由推论 得（）对任何实数 均收敛。 因为对任意实数 都有 ， 2 0, 3 1 (1) lim lim 0 2 2 = = = = + →+ − →+ p e x x x e x x x x 此时 ， 所以由推论 得（ ）是发散的。 因为 ， 1, 3 2 2 1 1 1 (2) lim 5 2 2 1 = = = + →+ p x x x x 三. 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法 条件：适用于 f x g x dx 其中f及g为一般函数） a ( ) ( ) ( + 1. 无穷积分收敛的狄利克雷判别法 定理11.3：(狄利克雷判别法） 当 时单调趋于 ，则 收敛。 若 在 上有界， 在 上 + → + = + + a u a x f x g x dx F u f x dx a g x a 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ) ( ) [ , )
3.无穷积分收敛的阿贝耳判别法 定理114:(阿贝耳判别法) 若[f(x)敛8(x)在a+)上单调有界则f(x)g(x)收敛。 注意:1.实际中,这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分; 2用这两个判别法关键是选择适当的x)及g(x) 3在狄利克雷判别法中,一般令f(x)为sinx或cosx 在阿贝耳判别法中,一般取f(x)=-(p>1) 例3:讨论∫2与「(P>0)绝对收敛或条件收敛 说明:只讨论前者,后者类似可得。 解题思路:由于被积函数不是非负函数,故不能直接用比较判别 法或柯西判别法,结合例1,我们可以先考虑判别它 是否绝对收敛,若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法
定理11.4：(阿贝耳判别法） 3. 无穷积分收敛的阿贝耳判别法 若 收敛 在 上单调有界 则 收敛。 + + + a a f (x)dx , g(x) [a, ) , f (x)g(x)dx 注意：1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分； 2.用这两个判别法关键是选择适当的f(x)及g(x)； 3.在狄利克雷判别法中，一般令f(x)为sinx或cosx； 在阿贝耳判别法中，一般取 ( 1)。 1 ( ) = p x f x p 例3： 讨论 与 绝对收敛或条件收敛。 + + 1 1 ( 0) sin cos dx p x x dx x x p p 说明：只讨论前者，后者类似可得。 解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别 法或柯西判别法，结合例1，我们可以先考虑判别它 是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法
解:1先讨论厂的收敛性 1)由于 D,x∈[,+∞),以及,女当D>时收敛 x 由定理12知道∫收敛 +oo sIn x 即当p>时, dx绝对收敛。 (2)当0<p≤时 内于 sin x sin2x_1cos2x ,x∈[1,+∞), 2x 2x 由狄利克雷判别法知: +oo cos 2x 收敛。 2x (事实上:(,cs2x=|sn2m-sm2≤1, (2)当x→+∞时单调趋于O。 2x
解： 先讨论 的收敛性： + 1 sin 1. dx x x p + + 1 1 1 , [1, ) sin 1 （1）由于 ，以及 dx当p 时收敛， x x x x x p p p + 1 sin 由定理11.2知道 dx收敛。 x x p + 1 sin 即当 1时， dx绝对收敛。 x x p p (2)当0 p 1时 由于 , [1, )， 2 cos 2 2 sin sin 1 2 = − x + x x x x x x x p p 事实上（） ， 由狄利克雷判别法知： 收敛。 sin 2 sin 2 1 2 1 ( : 1 cos 2 2 cos 2 1 1 = − + xdx u dx x x u 当 时单调趋于0。） 2 1 (2) x → + x
