第5讲不动点定理 教学目的:掌握压缩映象原理并应用于解各种算子方程的问题。 授课要点 1、压编映象与压编映象原理。 2、利用压编映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组 求解各种类型(代数,积分,微分)的方程时,首先遇到的是解的存在性和惟一性问题.这 类问题在泛函分析中即所谓不动点问题.其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直 接有关的 定义设X是度量空间,T:X→X是一个映射(不必线性),若存在a,0≤a<1使得 d(Tx,T)≤ad(x,y),vx,y∈X 则称T是X上的一个压缩映射 容易验证压缩映射在每一点是连续的 若存在x∈X使得Tx0=x,则称x是T的不动点 定理1完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点 证明任取x∈X,则 xo, Txo=T(xo),.,T"xo=T(Tro) 可归纳地予以定义,我们证明{T”x0}是X中的 Cauchy序列. 实际上由压缩性, d(T"x,T"x)≤ad(T"x0,T"x)≤…≤a"d(TXx0,x) 从而对于任何自然数p d(T"Pxo, T"ro)sad(Txo, xo) ≤a"(d(T"x0,7x0)+…+d(Tx0,x) ≤a"(a+a"2+…+1d(Tx,x) (2) x与Tx是X中两个固定的点,由于0≤a<1,不难知道{T"x}是 Cauchy序列 X是完备的,不妨设limT"x=x,x∈X.由T的连续性
第 5 讲 不动点定理 教学目的：掌握压缩映象原理并应用于解各种算子方程的问题。 授课要点： 1、 压缩映象与压缩映象原理。 2、 利用压缩映象原理解微分方程、积分方程和代数方程组。 求解各种类型（代数，积分，微分）的方程时，首先遇到的是解的存在性和惟一性问题．这 类问题在泛函分析中即所谓不动点问题．其中关于不动点的存在性往往是与空间的完备性直 接有关的． 定义 设 X 是度量空间，T : X → X 是一个映射（不必线性），若存在 a ，0 ≤ a <1使得 d( Tx,Ty) ≤ a d(x, y), ∀x, y ∈ X （1） 则称T 是 X 上的一个压缩映射． 容易验证压缩映射在每一点是连续的． 若存在 x0 ∈ X 使得 0 0 Tx = x ，则称 0 x 是T 的不动点． 定理 1 完备度量空间上的压缩映射具有惟一的不动点． 证 明 任取 x0 ∈ X ，则 Tx0 ， ( ) 0 0 2 T x = T Tx ，…， ( ) 0 1 0 T x T T x n n− = 可归纳地予以定义．我们证明{ }0 T x n 是 X 中的 Cauchy 序列． 实际上由压缩性， ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 1 0 0 0 1 d T x T x ad T x T x a d Tx x n n n n n ≤ ≤ ≤ + − " . 从而对于任何自然数 p ， ( , ) ( , ) 0 0 0 0 d T x T x a d T x x n p n n p ≤ + ( ( , ) ( , )) 0 0 0 1 0 a d T x T x d Tx x n p p ≤ + + − " ( 1) ( , ) 0 0 1 2 a a a d Tx x n p p ≤ + + + − − " ( , ) 1 0 0 d Tx x a an − ≤ （2） 0 x 与Tx0 是 X 中两个固定的点，由于0 ≤ a <1，不难知道{ }0 T x n 是 Cauchy 序列． X 是完备的，不妨设 T x x n n = →∞ 0 lim ， x ∈ X ．由T 的连续性
Tx=T(limT"xo)=limT(T"xo)=limT"xo=x 王是T的不动点.这说明不动点是存在的 若另有j∈X,巧=j,则仍由压缩性 d(,=d(x, ly)sad(x,y) 此时必有d(x,y)=0,从而x=j.这说明不动点是惟一的 定理得证 注意在不等式(2)中令p→∞,由于lmT”Px0=x,可以得到 d(T"x0,x)≤,d(x02x0) (3) 此式给出了x经过T的n次迭代后到x的距离的估计 命题设T:X→X是X上的映射,若对于某个自然数k,T*有惟一不动点,则T以同 点为惟一不动点 证明设x∈X是r*的惟一不动点,7x0=x0,则x0=T(7*x0)=7*(x).这说明Txo 是7*的不动点.由惟一性知道Tx=x,又T的每个不动点必是7*的不动点,所以T的不动 点是惟一的 例1考虑具有初值条件的微分方程 女=(x),y(x)=1 其中f(x,y)是二元连续函数并且满足关于y的 Lipschitz条件 If(,y-f(r,y2)sLly-y2I, VxE[xo,xo+ o0<y1;y2< 则当δL<1时,此微分方程存在惟一连续解 实际上,若考虑映射T:CIa,b]→Cla,b](这里记a=x,b=x+δ), (y)x)=yo+f(,y()d,x∈[a,b,yy=y(x)∈CIab 则y是方程(4)的解当且仅当y是T的不动点由 Lipschitz条件,按C{a,b中的范数有 d(Ty1,7y2)=Ty1-Ty2‖ =max!y(,y()-f(t,y2()d LIy(o-y2(ldr <Llx-xo Imax y,(0-y2(O)
Tx T T x T T x T x x n n n n n n = = = = + →∞ →∞ →∞ 0 1 0 0 (lim ) lim ( ) lim ． x 是T 的不动点．这说明不动点是存在的． 若另有 y ∈ X ，Ty = y ，则仍由压缩性 d(x, y) = d(Tx,Ty) ≤ ad(x, y)， 此时必有 d(x, y) = 0 ，从而 x = y ．这说明不动点是惟一的． 定理得证． 注意在不等式（2）中令 p → ∞ ，由于 T x x n p p = + →∞ 0 lim ，可以得到 ( , ) 1 ( , ) 0 0 0 d Tx x a a d T x x n n − ≤ ． （3） 此式给出了 0 x 经过T 的 n 次迭代后到 x 的距离的估计． 命题 设T : X → X 是 X 上的映射，若对于某个自然数 k ， k T 有惟一不动点，则T 以同 一点为惟一不动点． 证明 设 x0 ∈ X 是 k T 的惟一不动点， 0 0 T x x k = ，则 ( ) ( ) 0 0 T Tx0 Tx T T x k k = = ．这说明Tx0 是 k T 的不动点．由惟一性知道 0 0 Tx = x ．又T 的每个不动点必是 k T 的不动点，所以T 的不动 点是惟一的． 例 1 考虑具有初值条件的微分方程 f (x, y) dx dy = ， 0 0 y(x ) = y （4） 其中 f (x, y) 是二元连续函数并且满足关于 y 的 Lipschitz 条件： | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y − f x y ≤ L y − y ， [ , ] ∀x∈ x0 x0 +δ ， −∞ < y1 , y2 < ∞ ． 则当δ L <1时，此微分方程存在惟一连续解． 实际上，若考虑映射T :C[a,b] → C[a,b]（这里记 0 a = x ，b = x0 +δ ）， ∫ = + x x Ty x y f t y t t 0 ( )( ) ( , ( ))d 0 ， x∈[ , ], a b ] ∀y = y(x)∈C[a,b ， （5） 则 y 是方程（4）的解当且仅当 y 是T 的不动点．由 Lipschitz 条件，按C[a,b] 中的范数有 ( , ) || || d Ty1 Ty2 = Ty1 −Ty2 ∫ = − ∈ x t a b x f t y t f t y t t 0 max [ ( , ( )) ( , ( ))]d 1 2 [ , ] ∫ ≤ − ∈ x t a b x L y t y t t 0 max | 1 ( ) 2 ( ) | d [ , ] | | max | ( ) ( ) | 1 2 [ , ] 0 L x x y t y t t a b ≤ − − ∈
V1-y 当δL<1时T是压缩的,由于CIab]是完备的,定理1表明T有惟一不动点.从而方程(1) 存在惟一连续解. 例2设K(s,1)是矩形a≤s,【≤b上的连续函数,sup|k(s,)=M<∞,对于每个 H∈Φ,考虑 olterra型积分方程 x()=1k(,x(r)dr+o(), 其中φ()∈CIa,b].我们证明此方程在CIa,b]中存在惟一解 实际上,考虑映射TCIa,b→C[a,b, (Tx)(0=ulK(, )x(r)dr+p(0), Vxe[a, b 则T的不动点即是(6)的解。由于 (x))-(y)D)l=|1k(,)(x(x)-y(r)da ≤|| M sup x(1)-y(0)‖-a =|a|M(-a)d(x,y) (7) 直接对于左端取上确界未必会得到T的压缩性,所以需要考虑别的途径.实际上对于(7)两 端关于t再积分,归纳地,若 (T"x)()-(T"y)(1)图"M n(1-a) d(x,y) 则 (Tx))-(Ty))=[k(,rx(r"r)-(T"y)r)d (r-a)drd(x, y) Sum+ macI-ayd(x, y) 由此得到对于任何自然数n, (7"x,T"y)=sup|(T"x)()-(T"y)) ≤lrM(b-a)a(xy) 取n足够大,可使M"(b=a<1,此时了“成为C[ab]上的压缩映射.C[ab完备, 所以T”有惟一不动点.再由命题1,T有同一不动点.它即是方程(6)的解
|| || 1 2 ≤ δL y − y 当δ L <1时T 是压缩的，由于C[a,b] 是完备的，定理 1 表明T 有惟一不动点．从而方程（1） 存在惟一连续解． 例 2 设 K(s,t) 是矩形 a ≤ s ， t ≤ b 上的连续函数， = < ∞ ≤ ≤ K s t M a s t b sup | ( , ) | , ．对于每个 µ ∈Φ ，考虑 Volterra 型积分方程 x(t) K(t, )x( )d (t) t a = µ τ τ τ +ϕ ∫ ， （6） 其中ϕ(t)∈C[a,b] ．我们证明此方程在C[a,b] 中存在惟一解． 实际上，考虑映射T :C[a,b] → C[a,b]， (Tx)(t) K(t, )x( )d (t) t a = µ τ τ τ +ϕ ∫ ，∀x∈C[a,b] 则T 的不动点即是（6）的解。由于 ∫ − = − t a | (Tx)(t) (Ty)(t) | | µ | K(t,τ )((x(τ ) y(τ ))dτ | | M sup | x(t) y(t) | | t a | a t b ≤ − − ≤ ≤ µ = | µ | M (t − a)d(x, y) （7） 直接对于左端取上确界未必会得到T 的压缩性, 所以需要考虑别的途径. 实际上对于（7）两 端关于t 再积分，归纳地，若 ( , ) ! ( ) | ( )( ) ( )( )| | | d x y n t a T x t T y t M n n n n n − − ≤ µ ， 则 ∫ − = − + + t a n n n n | (T x)(t) (T y)(t) | | µ | K(t,τ )((T x)(τ ) (T y)(τ ))dτ 1 1 ( ) d ( , ) ! 1 | | 1 1 a d x y n M t a n n n ∫ ≤ − + + µ τ τ ( , ) ( 1)! ( ) | | 1 1 1 d x y n t a M n n n + − = + + + µ ． 由此得到对于任何自然数 n ， d(T x,T y) sup | (T x)(t) (T y)(t) | n n a t b n n = − ≤ ≤ ( , ) ! | | ( ) d x y n M b a n n n − ≤ µ ． 取 n 足够大，可使 1 ! | | ( ) < − n M b a n n n µ ，此时 n T 成为C[a,b] 上的压缩映射．C[a,b] 完备， 所以 n T 有惟一不动点．再由命题 1，T 有同一不动点．它即是方程（6）的解．
对于线性空间X上的一个算子T:X→X,算子方程Tx=y的求解问题很容易变成一个 不动点的存在问题.例如设 Vx=x+Ix 则V的不动点即是Tx=y的解.让我们给出一个很一般的例 例3设X是 Banach空间,U是从X到X中的算子,若 JUx,-Ux2sal, -x2,Vx,x2EX 其中0≤a<1,则方程Ux=x+y有惟一解. 实际上,如上面所述,令x=Ux-y,则 Ivx -Vx2=Ux,-Ux2< - 2, Vx,x2EX 即V是X上的压缩映射.X完备,故存在X∈X,=X,从而x=U-y,x是Ux=x+y的 惟一解 在很多实际应用中,压缩映象的条件还是过于严格了.为了解决这些问题提出了各种各 样的别的条件,比如“非扩张的”,甚至“扩张的”映射等.另外随着学科的发展又提出了 随机的”和“集值的”映射等等,它们也都有相应的不动点定理.总之,至今有关“不动点 定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系,他们在解决理论和应用的许多问题中都提 供了有力的工具,读者对此应有足够的重视
对于线性空间 X 上的一个算子T : X → X ，算子方程Tx = y 的求解问题很容易变成一个 不动点的存在问题．例如设 Vx = x +Tx − y ， 则V 的不动点即是Tx = y 的解．让我们给出一个很一般的例． 例 3 设 X 是 Banach 空间，U 是从 X 到 X 中的算子，若 1 2 1 2 Ux −Ux ≤ a x − x ，∀x1 , x2 ∈ X ． 其中0 ≤ a <1，则方程Ux = x + y 有惟一解． 实际上，如上面所述，令Vx = Ux − y ，则 1 2 1 2 1 2 Vx −Vx = Ux −Ux ≤ a x − x ，∀x1 , x2 ∈ X ． 即V 是 X 上的压缩映射． X 完备，故存在 x ∈ X ,Vx = x ，从而 x = Ux − y ， x 是Ux = x + y 的 惟一解． 在很多实际应用中，压缩映象的条件还是过于严格了. 为了解决这些问题提出了各种各 样的别的条件，比如“非扩张的”， 甚至“扩张的”映射等. 另外随着学科的发展又提出了 “随机的”和“集值的”映射等等, 它们也都有相应的不动点定理. 总之，至今有关“不动点 定理”的问题已经发展成为内容十分丰富的体系，他们在解决理论和应用的许多问题中都提 供了有力的工具，读者对此应有足够的重视
