武汉大学：《泛函分析》课程教学资源（教案讲义）第6讲 紧性与连续映射

第6讲紧性与连续映射 教学目的:掌握紧集的概念与基本属性 授课要点: 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划 2、紧集在连续映射下的特性。 3、某些空间中紧子集的特征。 我们称集族{B2;∈4}覆盖A,若∪B2=A 定义1设X是度量空间,AcX (1)称A是紧的,若Ⅹ中的任一开集族覆盖A时,其中存在有限个开集仍覆盖A (2)A称为是相对紧的,若A紧 (3)称EcX是A的E网,若∪O(x,E)=A (4)称A是完全有界的,若VE>0,X中存在由有限个元素构成的A的E网 注意,在定义1(3)中,作为A的E网的集合E,并没有要求EcX.对于一个集 合来说,是否要求EcX并不改变其完全有界性 首先让我们来看一个例子 对于X=(2,若en=(0,…0.10,…),则‖enl2=1.令A={enn≥1},则A不是紧集.实 际上,切m≠n,en-√2.若取B,=On,则B,n21是A的开覆盖.但由于 每个B只包含一个en,故其中不包含任何有限子族覆盖A.注意A是C2中的有界集,由于 A中不存在 Cauchy序列,所以它还是闭集 此例告诉我们在无穷维空间情况,有界闭集并不一定是紧集,其中每个无穷序列也不必 有收敛的子序列.换句话说在无穷维空间, bolzano- Weierstrass定理并不成立 思考题 (1)证明定义1(4)下面“注意”中所说的事实

第 6 讲 紧性与连续映射 教学目的：掌握紧集的概念与基本属性。 授课要点： 1、 紧集、相对紧集和完全有界集的定义与序列式刻划。 2、 紧集在连续映射下的特性。 3、 某些空间中紧子集的特征。 我们称集族{ ;λ Λ} Bλ ∈ 覆盖 A ，若 B ⊃ A. ∈ λ λ Λ ∪ 定义 1 设 X 是度量空间， A ⊂ X ． （1）称 A 是紧的，若 X 中的任一开集族覆盖 A 时，其中存在有限个开集仍覆盖 A ． （2） A 称为是相对紧的，若 A 紧． （3）称 E ⊂ X 是 A 的ε 网，若 O x A x E ⊃ ∈ ∪ ( ,ε ) ． （4）称 A 是完全有界的，若 ∀ε > 0 ， X 中存在由有限个元素构成的 A 的ε 网． 注意，在定义 1（3）中，作为 A 的ε 网的集合 E ，并没有要求 E ⊂ X ． 对于一个集 合来说，是否要求 E ⊂ X 并不改变其完全有界性． 首先让我们来看一个例子． 对于 2 X = A ，若 (0  ,",0 ,1,0,") n n e = ，则|| en ||2 =1．令 A = {e ;n ≥ 1} n ，则 A 不是紧集．实 际上，∀m ≠ n ，|| em − en ||= 2 ．若取       = 2 1 , n n B O e ，则{B ,n ≥ 1} n 是 A 的开覆盖．但由于 每个 Bn 只包含一个 n e ，故其中不包含任何有限子族覆盖 A ．注意 A 是 2 A 中的有界集，由于 A 中不存在 Cauchy 序列，所以它还是闭集． 此例告诉我们在无穷维空间情况，有界闭集并不一定是紧集，其中每个无穷序列也不必 有收敛的子序列．换句话说在无穷维空间，Bolzano-Weierstrass 定理并不成立． 思考题 （1） 证明定义 1（4）下面“注意”中所说的事实

(2)证明完全有界集一定是有界集 定理1设X是度量空间,AcX,则下面两条件等价 (1)A是紧集 (2)A中任一无穷序列{x}包含有子序列{x},x→x并且x∈A 证明先设A紧,{xn}是A中的无穷序列.若{xn}无子序列收敛于A中的元,则 vx∈A,>0和自然数n2,使得O(x,r)∩{xnn≥n2}=②,注意到UO(xr)A,由A 的紧性,存在x…,x,使得O(x,1)A·但当m≥max{4?…,nx;}时, O(x,1,)∩{xn2m=②,从而 {xn;n≥m}cUO(x1,r:)∩{xn,n≥m}=, 矛盾 反之,为证A紧,设{B2L∈A是A的一族开覆盖.Vx∈A,彐B2,x∈B2·B2是 开集,故存在r>0,O(x,n)cB2·记r=sup{r,O(x,)0.我们证明 r6=infr>0(称r是A的 Lebesque数) 由下确界定义,彐xn∈A,,→5·根据定理中条件,存在子序列x,x→x∈A.不 幼设为∈B,于是存在,当k≥时,x∈x空,此时 Oxo, ) cB 于是>(2),5=m,≥5>0.(这说明紧集的 Lebesque数大于0.) 现在任取x∈A,若O(x2)A并且O(x2)∈B2,则B覆盖A·否则存 x2∈AO(x,).若UO(x1,6)A并且O(x2,b)<B2,则B,,B2覆盖A.否则又存在 x3∈AⅦ∪o(x1,),….如果这一过程可以无限进行,由此得到序列{xn},显然 d(xn,x)≥l(m≠m)·{xn}无收敛子序列,与(2)矛盾.于是对于某个n0有

（2） 证明完全有界集一定是有界集． 定理 1 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是紧集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含有子序列{ } nk x ， x x nk → 并且 x ∈ A． 证明 先设 A 紧， { }n x 是 A 中的无穷序列．若{ }n x 无子序列收敛于 A 中的元，则 ∀x∈ A ，∃rx > 0 和自然数 nx ，使得O(x,rx )∩{xn ;n ≥ nx} = ∅ ．注意到 O x rx A x A ⊃ ∈ ∪ ( , ) ，由 A 的紧性，存在 k x′, , x′ 1 " ，使得 O x r A j j x k j ′ ′ ⊃ = ( , ) 1 ∪ ．但当 max{ , , } 1 k x x m ≥ n ′ " n ′ 时 ， O(x′ j ,rx′ j )∩{xn ;n ≥ m} = ∅ ，从而 ≥ ⊂ ′ ′ ≥ = ∅ = { ; } ( , ) { ; } 1 x n m O x j rx xn n m k j n j ∪ ∩ ， 矛盾． 反之，为证 A 紧，设{ ;λ Λ} Bλ ∈ 是 A 的一族开覆盖．∀x ∈ A ， ∃Bλ ， Bλ x ∈ ． Bλ是 开集，故存在 r > 0 ， Bλ O(x,r) ⊂ ．记 sup{ ; ( , ) ,λ Λ} rx = r O x r ⊂ Bλ ∈ ，显然 > 0 x r ．我们证明 0 = inf > 0 ∈ x x A r r （称 0r 是 A 的 Lebesque 数）． 由下确界定义， n ∃ ∈ x A ， 0 r r n x → ．根据定理中条件，存在子序列 nn x ，x x A nn → 0 ∈ ．不 妨设 0 λ0 x ∈ B ，于是存在 0 k ，当 0 k ≥ k 时，         ∈ 2 , 0 0 x n r x O x n ，此时 ( ) 0 0 0 , 2 , 0 Bλ O x r r O x x x nn ⊂ ⊂         ． 于是 ( ) 2 0 0 k k r r x x kn > ≥ ， 0 2 lim 0 0 = ≥ > →∞ x x k r r r kn ．（这说明紧集的 Lebesque 数大于 0．） 现在任取 x1 ∈ A ， 若 O(x1 ,r0 ) ⊃ A 并 且 1 ( , ) 1 0 Bλ O x r ⊂ ， 则 λ1 B 覆 盖 A ．否则存在 \ ( , ) 2 1 0 x ∈ A O x r ．若 O xi r A i ⊃ = ( , ) 0 2 1 ∪ 并且 2 ( , ) 2 0 Bλ O x r ⊂ ，则 λ1 B ， 2 Bλ 覆盖 A ．否则又存在 \ ( , ) 0 2 1 3 x A O x r i i= ∈ ∪ ，…．如果这一过程可以无限进行，由此得到序列 { }n x ，显然 ( , ) ( ) d xm xn ≥ r0 m ≠ n ． { }n x 无收敛子序列，与（ 2 ）矛盾．于是对于某个 0 n 有

UO(x,)A.设O(x,)∈B2,则∪B13U0(x,)A,4被有限覆盖.{B2∈A 是任意的,由定义A是紧集 推论1每个紧集是有界闭集.紧集的每个闭子集是紧的 这是因为对于紧集A中的每个序列{xn},若xn→x,必有子列xn→x∈A.故A闭.另 方面若A紧,EcX是闭的,则对于{xn}cA,有子列x2→x,E闭,故x∈E.所以E 定理2设X为度量空间,AcX,则下面两条件等价: (1)A是相对紧集 (2)A中任一无穷序列{xn}包含收敛子序列(极限点不必在A中) 证明1°若紧,{x}CAcA,由定理1,存在子序列{x},x→x∈AcX 2°反之,设{xn}是A中的无穷序列,构造A中的无穷序列{yn} 若xn∈A xn,若x∈A\A取x∈Ad(xnx)< 则{yn}∈A.由(2),存在子列{y},y2→y∈X.显然y∈A并且 d(x2,y)≤d(x,y)+d(yn,y)≤一+d(m,y)→0 所以x→y.由定理1知A紧,从而A相对紧 定理3设X是度量空间,AcX,则下面两条件等价 (1)A是完全有界集 (2)A中任一无穷序列{xn}包含 Cauchy子序列 证明1°若A是完全有界的,x}∈A.取6=1,则A有有限网,{x,}是无限的, 故至少有一个半径为一的球包含无穷多个xn,记它们为{x1},显然d(xx)<1.{x}作为 A的子集同样是完全有界的现在取E 22{xn}有有限的网,其中之一包含{x}中无 穷多个元,记为{x2},显然d(x2,x2)<,…·如此下去,得到可数多个序列,每个序列

0 0 1 (,) n i i Ox r A = ∪ ⊃ ．设 i O xi r ⊂ Bλ ( , ) 0 ，则 ( ) 0 0 0 1 1 , i n n i i i Bλ Oxr A = = ∪ ∪ ⊃ ⊃ ，A 被有限覆盖．{ ;λ Λ} Bλ ∈ 是任意的，由定义 A 是紧集． 推论 1 每个紧集是有界闭集．紧集的每个闭子集是紧的． 这是因为对于紧集 A 中的每个序列{ }n x ，若 x x n → ，必有子列 x x A nk → ∈ ．故 A 闭．另 一方面若 A 紧，E ⊂ X 是闭的，则对于{xn } ⊂ A，有子列 x x n ′ k → ，E 闭，故 x∈ E ．所以 E 紧． 定理 2 设 X 为度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是相对紧集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含收敛子序列（极限点不必在 A 中）． 证明 1°若 A 紧，{xn } ⊂ A ⊂ A ，由定理 1，存在子序列{ } k n x ， x x A X nk → ∈ ⊂ ． 2°反之，设{ }n x 是 A 中的无穷序列，构造 A 中的无穷序列{ }n y ， , . 1 , \, ,( , ) . n n n n n n nn x xA y x x A A x Ad x x n  ∈  =  ′ ′′ ∈∈ <   若 若 取 则{yn } ⊂ A．由（2），存在子列{ } k n y ， y y X nk → ∈ ．显然 y∈ A 并且 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, k kk k k n nn n n k dx y dx y dy y dy y n ≤ + ≤+ → 所以 x y nk → ．由定理 1 知 A 紧，从而 A 相对紧． 定理 3 设 X 是度量空间， A ⊂ X ，则下面两条件等价： （1） A 是完全有界集． （2） A 中任一无穷序列{ }n x 包含 Cauchy 子序列． 证明 1°若 A 是完全有界的，{xn } ⊂ A．取 2 1 ε = ，则 A 有有限 2 1 网，{ }n x 是无限的， 故至少有一个半径为 2 1 的球包含无穷多个 n x ，记它们为{ }1i x ，显然 ( , ) 1 d x1i x1 j < ．{ }1i x 作为 A 的子集同样是完全有界的. 现在取 2 2 1 ε = , { }1i x 有有限的 2 2 1 网，其中之一包含{ }1i x 中无 穷多个元，记为{ } 2i x ，显然 2 1 ( , ) d x2i x2 j < ，…．如此下去，得到可数多个序列，每个序列

是前面一个的子序列.利用对角线方法选取{xn},它是{xn}的子序列,由我们的取法知道, xm}是 Cauchy序列 2°若A不是完全有界的,则存在E0>0,A不具有有限ε0网.换句话说任取x∈A, O(x,5)A,故有x∈AO(x,),又Uo(x,)A,从而有x,…,显然 d(xn,xn)≥50(m≠n),{xn}不包含任何 Cauchy子序列,矛盾 推论2设X是度量空间,AcX (1)A是紧集则A必是相对紧的 A是相对紧的则A必是完全有界的 (2)若A是闭集,则A紧当且仅当A相对紧. (3)若X完备,则A相对紧当且仅当A完全有 (4)整个空间X是紧的当且仅当X完备并且完全有界 推论3设Ac",则以下条件等价 (1)A是有界集 (2)A是完全有界集 (3)A是相对紧集 特别地,在有限维线性赋范空间中A是紧集当且仅当A是有界闭集 证明(3)→(2)→(1)是显然的.(1)→(3)根据 bolzano- Weierstrass定理得 定理4设X,Y是度量空间,其中X紧,T:X→Y是连续映射,则 (1)T(X)是紧集 (2)T在X上一致连续.即VE>0,3δ>0,对于任何x,x’∈X,只要d(x,x)0,xn,x∈X,d(xn,x)<-,但d(T(xn)T(x)≥E0.A紧

是前面一个的子序列．利用对角线方法选取{ } nn x ，它是{ }n x 的子序列，由我们的取法知道， { } nn x 是 Cauchy 序列． 2°若 A 不是完全有界的，则存在 0 ε 0 > ， A 不具有有限 0 ε 网．换句话说任取 x1 ∈ A ， O(x1 ,ε 0 ) ⊃/ A ，故有 \ ( , ) 2 1 0 x ∈ A O x ε ， 又 O xi A i ⊃/ = ( , ) 0 2 1 ∪ ε ，从而有 x3 ," ．显然 0 ( , ) ≥ ε n m d x x (m ≠ n) ，{ }n x 不包含任何 Cauchy 子序列，矛盾． 推论 2 设 X 是度量空间， A ⊂ X ． （1） A 是紧集则 A 必是相对紧的． A 是相对紧的则 A 必是完全有界的． （2）若 A 是闭集，则 A 紧当且仅当 A 相对紧． （3）若 X 完备，则 A 相对紧当且仅当 A 完全有界． （4）整个空间 X 是紧的当且仅当 X 完备并且完全有界． 推论 3 设 n A ⊂Φ ，则以下条件等价： （1） A 是有界集． （2） A 是完全有界集． （3） A 是相对紧集． 特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集． 证明 （3）⇒ （2）⇒ （1）是显然的．（1）⇒ （3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得 到． 定理 4 设 X ，Y 是度量空间，其中 X 紧，T : X →Y 是连续映射，则 （1）T(X ) 是紧集． （2）T 在 X 上一致连续. 即∀ε > 0 ， ∃δ > 0 ，对于任何 x, x′∈ X ，只要 d(x, x′) ， xn , xn ′ ∈ X ， n d x x n n 1 ( , ′ ) < ，但 0 ( ( ), ( ′ )) ≥ ε n n d T x T x ． A 紧

故存在{x},x→x∈·从而x→x0,由T在x的连续性, T(x2)→7(x),T(x2)→7(x) d(T(x)T(x2)sd(T(x)7(x)+d(T(xo)T(x2)→ 这与d(T(xn),7(x2)≥E0矛盾 3°由1°,f(x)在R中紧,故∫(x)是有界集,记a=supf(x).由上确界定义,存在 xn∈X,f(xn)→a.X紧,故{xn}中有子列{xn},xn→x∈X,所以f(x)→f(x0), (x0)=a.对于下确界同样证明 紧性在很多学科中都会用到,有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很 重要的 例1空间C(2)中的相对紧集 设(2,d)是紧度量空间,C(g2)是Ω2上定义的标量值连续函数全体.定义 l x=sup x(o) vx∈C() 容易验证,‖x有确定的意义(即有限实数),‖‖是C(2)上的范数并且C(2)是 Banach 空间. C(2)的子集K称为是等度连续的函数族,若VE>0,存在δ=()>0使得12∈g, d(1,l2)0,由等度连续性,取δ>0使得当d(t,t)<d时,|x()-x(t)k.g是紧空间 故有有限δ网1…n,使得Ⅵt∈Ω,,d(n1)<δ.此时 x()-x(t1)k (3) 记k={x=(x(1)…,x(tn):x()∈K},K是Φ"中的点集,并且对于每个x∈R

故存在{ } k n x ， x x X nk → 0 ∈ ．从而 0 x x n ′ k → ，由T 在 0 x 的连续性， ( ) ( ) 0 T x T x k n → ， ( ) ( ) 0 T x T x k n ′ → ． ( ( ), ( ′ )) ≤ ( ( ), ( 0 )) + ( ( 0 ), ( ′ )) → 0 k k k k n n n n d T x T x d T x T x d T x T x 这与 0 ( ( ), ( ′ )) ≥ ε k k n n d T x T x 矛盾． 3°由 1°， f (x) 在 R 中紧，故 f (x) 是有界集，记 a sup f (x) x∈X = . 由上确界定义，存在 xn ∈ X ，f (xn ) → a ． X 紧，故 { }n x 中有子列{ } k n x ，x x X nk → 0 ∈ ，所以 ( ) ( ) 0 f x f x nk → ， f (x ) = a 0 ．对于下确界同样证明． 紧性在很多学科中都会用到，有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很 重要的． 例 1 空间C(Ω) 中的相对紧集． 设(Ω,d)是紧度量空间，C(Ω) 是Ω 上定义的标量值连续函数全体．定义 || x || sup | x(t)| t∈Ω = ， ) ∀x∈C(Ω ． （1） 容易验证，|| x ||有确定的意义（即有限实数），|| ⋅ || 是C(Ω) 上的范数并且C(Ω) 是 Banach 空间． C(Ω) 的子集 K 称为是等度连续的函数族，若∀ε > 0 ，存在δ = δ (ε ) > 0使得∀t1 ,t2 ∈Ω ， d(t1 ,t2 ) ε 0 ，由等度连续性，取δ > 0 使得当 d(t,t′) < δ 时， 3 | ( ) ( ) | ε x t − x t′ < ．Ω 是紧空间， 故有有限δ 网 n t , ,t 1 " ，使得∀t ∈Ω ，∃i ， d(t,ti) < δ ．此时 3 | ( ) ( ) | ε x t − x ti < ． （3） 记 ( ( ), , ( )): ( ) } ~{ ~ K = x = x t1 " x tn x t ∈ K ， K ~ 是 n Φ 中的点集，并且对于每个 x K ~ ~ ∈

x(1)P2≤√nmax|x(1)√ nsupsupIx()k∞ 即K为"中的有界集,从而是完全有界集(推论3) 对于E,K有有限网x,…,,我们证明,与x…,x相应的函数x,…,x是K的E网 实际上,Vx∈K,对应的x=(x()…,x(n)∈R,从而有x=(x()…,x,(n)使得 ∑|x()-x0)P 此时 x(1)-x(1)k,1≤isn t∈g,取1,使d(t,)0,设x,…,x为K的网,每个x(1≤i≤k)在Ω上连续, 从而一致连续.于是存在δ>0,当d(,1)<δ时, x()-x()k 1≤i≤k 对于每个x∈K, x()-x(n)图x(1)-x()+|x(1)-x()+|x()-x() lx-x,‖+|x()-x(t) E 故得之 思考题

≤ ≤ 0 ，设 k x , , x 1 " 为 K 的 3 ε 网，每个 i x (1≤ i ≤ k) 在Ω 上连续， 从而一致连续．于是存在δ > 0 ，当 d(t,t′) < δ 时， 3 | ( ) ( ) | ε xi t − xi t′ < ， 1≤ i k ≤ ． 对于每个 x∈ K ， | x(t) x(t ) | | x(t) x (t)| | x (t) x (t )| | x (t ) x(t ) | i i i i − ′ ≤ − + − ′ + ′ − ′ 2 || x x || | x (t) x (t ) | i i i < − + − ′ ε ε ε < + = 3 3 2 ． 故得之． 思考题

1、若函数族|fn()在紧集A上等度连续并且点点收敛,则f()在A上一致收敛 2、设 Ecla,b],E有界且满足a(0<a≤1)阶 Lipschitz条件 x(1)-x(2)L|1-12,t1,t2∈[anb],wx∈E, 则E是CIab]中的相对紧集

1、 若函数族| f (t) | n 在紧集 A 上等度连续并且点点收敛，则| f (t) | n 在 A 上一致收敛． 2、 设 E ⊂ C[a,b]， E 有界且满足α(0 < α ≤ 1)阶 Lipschitz 条件 1 2 12 | ( ) ( )| | | x t xt L t t α − ≤− ， , [ , ] 1 2 t t ∈ a b ，∀x ∈ E ， 则 E 是C[a,b] 中的相对紧集．