第五章有界线性算子的谱理论 线性算子的谱理论是与解算子方程緊密联系的,它起源于代数方 程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题.实际上在泛函 分析产生的早期, Volterra、 Fredholm、 Hilbert等人就曾研究过这 样的问题,同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题.本章首先讨 论算子的正则性和谱的概念及其基本性质,然后着重叙述 Riesz- Schauder关于紧算子的谱论和 Hilbert空间上自伴算子的谱 论,最后介绍谱系和谱分解问题. 第22讲有界线性算子的谱 教学目的:介绍有界线性算子谱的概念及谱的相 关性质。 讲解要点: 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类 谱半径公式,谱集的拓扑属性。 3了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 设X是线性赋范空间,B(X)是X上全体有界线性算子构成的空 间,我们已经知道B(X)是线性赋范空间.实际上,在B(X)中还可以 引进另一种运算一一算子的乘法 对于两个算子AB∈B(x),规定
1 第五章 有界线性算子的谱理论 线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的，它起源于代数方 程、线性方程组、积分方程和微分方程的特征值问题. 实际上在泛函 分析产生的早期, Volterra、Fredholm、Hilbert 等人就曾研究过这 样的问题, 同时它也是泛函分析中经久不衰的研究课题. 本章首先讨 论算子的正则性和谱的概念及其基本性质，然后着重叙述 Riesz-Schauder 关于紧算子的谱论和 Hilbert 空间上自伴算子的谱 论，最后介绍谱系和谱分解问题. 第 22 讲 有界线性算子的谱 教学目的：介绍有界线性算子谱的概念及谱的相 关性质。 讲解要点： 1 算子的正则性与谱的定义、谱集的分类。 2 谱半径公式，谱集的拓扑属性。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 设 X 是线性赋范空间， Β(X )是 X 上全体有界线性算子构成的空 间，我们已经知道 Β(X )是线性赋范空间. 实际上，在 Β(X )中还可以 引进另一种运算——算子的乘法. 对于两个算子 AB BX , ( ), ∈ 规定
AB(x)=A(B(x),Vx∈X 这种运算满足 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+ AC (A+B)C=AC +BC, k(AB)=(kA)B=A(kB),k∈Φ 以表示单位算子,则A=MA=A.若‖‖是B(X)上的范数,则 ‖AB‖≤‖A‖‖B‖,A,B∈B(X) 由于B(X)中能够引进乘法运算并且具有以上性质,我们称B(X)是 个赋范代数,称I为单位元若B(X)还是完备的,则称其为 Banach 代数 Banach代数的概念也可以完全公理式地加以定义.不过,本质 上说来,任何一个 Banach代数都可以看成某个空间上的算子代数 前面几章我们已经接触过逆算子的概念,并且知道当A是线性算 子时,若A-存在,则A也是线性算子.现在我们将从B(X)中元素 的角度进一步考察逆算子 定义1称A∈B(X)是正则算子,若A是到上的,A存在并 且是有界算子 定理1设X是 Banach空间,A∈B(X),则以下条件等价: (1)A是正则算子 (2)存在B∈B(X),AB=BA=1.此时B即是A1 (3)A是到上的并且存在a>0,‖Ax|a‖xl,vx∈X (4)A是一一的到上的 证明(1)→(2).若A是正则算子,A存在并且
2 AB(x) = A(B(x)), ∀x∈ X. 这种运算满足 A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC ， (A + B)C = AC + BC ， k(AB) = (kA)B = A(kB)， k ∈Φ . 以 I 表示单位算子，则 AI = IA = A. 若 || || ⋅ 是 Β(X )上的范数，则 || AB|| ||A|| ≤ || B ||， ∀A, ( ), B BX ∈ 由于 Β(X )中能够引进乘法运算并且具有以上性质，我们称 Β(X )是一 个赋范代数, 称 I 为单位元. 若 Β(X ) 还是完备的, 则称其为 Banach 代数. Banach 代数的概念也可以完全公理式地加以定义. 不过, 本质 上说来, 任何一个 Banach 代数都可以看成某个空间上的算子代数. 前面几章我们已经接触过逆算子的概念，并且知道当 A 是线性算 子时，若 −1 A 存在，则 −1 A 也是线性算子. 现在我们将从 Β(X )中元素 的角度进一步考察逆算子. 定义 1 称 A∈ Β(X ) 是正则算子，若 A 是到上的， −1 A 存在并 且是有界算子. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) ，则以下条件等价： (1) A 是正则算子. (2) 存在 B ∈ Β(X ) ， AB = BA = I . 此时 B 即是 −1 A . (3) A 是到上的并且存在 α > 0， || Ax ||≥ α || x || , ∀ ∈x X. (4) A 是一一的到上的. 证 明 (1) ⇒ (2). 若 A 是正则算子， −1 A 存在并且
A-∈B(X),取B=A-1,则AB=BA=I 2)→(3).实际上Vx∈X,令y=Ax.由BA=Ⅰ知道 By=BAx=x,于是 x‖=‖By‖s≤‖B‖‖y‖=‖B‖‖Ax‖ 又由1圳Is‖A‖‖B‖知道‖B|≠0.取‖Bl=a,则从上式得到 ‖Ax| ∥Bx|a‖x,vx∈x 由AB=I知道A是到上的 (3)→(4).若Ax=0知道x=0,故N(A)={0} (4)→(1).由N(A)={0)}知A是一一的,于是A存在,又A到 上,根据逆算子定理知A∈B(X) 定理2设A,B∈B(X) (1)若A是正则算子,则A是正则算子并且(4-)-1=A (2)若A,B是正则算子,则AB是正则算子并且 (AB)=B-A (3)若A是正则算子,则A是正则算子并且(A)=(4-) 证明1°A正则,故A∈B(X)并且A4-=A-A=1.由于 A∈B(X),从定理1(2)知A正则并且A=(A-) 2°由正则性的定义,A,B-∈B(X),并且 AA-=A-A=1,BB-=B-B=1, 于是 (B-A-)(AB)=B(A-AB=B-B=I (ABB A=A(BB)A =AA=I 故AB正则并且(AB)=BA 3°由A∈B(X),故(A-)存在并且(A)∈B(X)
3 ( ) 1 A ∈ Β X − ，取 −1 B = A , 则 AB = BA = I . (2) ⇒ (3). 实际上 ∀x ∈ X , 令 y = Ax . 由 BA = I 知 道 By = BAx = x ,于是 || || || || || || x = ≤ By B || || || || y B = || Ax || 又由1 || || || || = ≤ I A || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 1 || || B α − = , 则从上式得到 || || || || || || 1 || || x x B Ax ≥ = α , ∀x∈ X . 由 AB = I 知道 A 是到上的. (3)⇒(4). 若 Ax = 0知道 x = 0, 故 N(A) = {0}. (4) ⇒(1). 由 N(A) = {0}知 A 是一一的,于是 −1 A 存在, 又 A 到 上, 根据逆算子定理知 ( ) 1 A ∈ Β X − . 定理 2 设 A, B ∈ Β(X ) . (1) 若 A 是正则算子, 则 −1 A 是正则算子并且 A = A −1 −1 ( ) . (2) 若 A, B 是正则算子，则 AB 是正则算子并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . (3) 若 A 是正则算子, 则 * A 是正则算子并且 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 证明 D 1 A 正则，故 ( ) 1 A ∈ Β X − 并且 AA = A A = I −1 −1 . 由于 A∈ Β(X ) ，从定理 1(2)知 −1 A 正则并且 1 1 ( ) − − A = A . D 2 由正则性的定义， , ( ) 1 1 A B ∈ Β X − − ，并且 AA = A A = I −1 −1 ， BB = B B = I −1 −1 ， 于是 B A AB = B A A B = B B = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . AB B A = A BB A = AA = I −1 −1 −1 −1 −1 ( )( ) ( ) . 故 AB 正则并且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A . D 3 由 ( ) 1 A ∈ Β X − ，故 1 * ( ) − A 存在并且 ( ) ( ) 1 * * A ∈ Β X −
又AA=AA=Ix,于是对两边取共轭得到 A'(4-)=(A-)A=I=I 故(A)=(A) 以下我们就复空间进行讨论.这是为了充分应用复解析函数的 优越性质 注意对于赋范代数B(X),关于算子A的多项式 +a,A+ 总是有意义的.甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的同时 算子幂级数∑an"(=D)的收敛性乃至算子函数f()的解析性 都可以加以定义.例如表达式 ∑,sinA=∑(-1) 等在范数收敛意义下都代表B(x)中的元素.下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的 定理3( von neumann)设X是 Banach空间,A∈B(X),A∈C 若‖A‖n,则 A ‖Bnx-Bnx|‖ A|-‖!Al ‖x‖→0,(m,n→∞) {Bnx}是 Cauchy序列,故 limb x存在.由 Banach- Steinhaus定理, 存在B∈B(X),使得
4 又 X AA = A A = I −1 −1 ，于是对两边取共轭得到 * * 1 * 1 * * * ( ) ( ) X X A A = A A = I = I − − . 故 * 1 1 * ( ) ( ) − − A = A . 以下我们就复空间进行讨论. 这是为了充分应用复解析函数的 优越性质. 注意对于赋范代数 Β( ) X , 关于算子 A 的多项式 0 1 n n aI aA aA + ++ " 总是有意义的. 甚至若干个算子的(多元)多项式也是有意义的. 同时 算子幂级数 0 ( ) n o n n aA A I ∞ = ∑ = 的收敛性乃至算子函数 f ( ) A 的解析性 都可以加以定义. 例如表达式 2 1 0 0 , sin ( 1) ! (2 1)! n n A n n n A A e A n n ∞ ∞ + = = = =− + ∑ ∑ 等在范数收敛意义下都代表 Β( ) X 中的元素. 下面定理中出现的多项 式和幂级数也是如此的. 定理 3(von Neumann) 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) , λ ∈C , 若 || || | | A n，则 || || || || 1 1 x A B x B x m i n i i m n ∑= + + − ≤ λ || || | | || || 1 x A n − ≤ + λ α → →∞ 0, ( , ) m n {B x} n 是 Cauchy 序列，故 B xn n→∞ lim 存在. 由 Banach-Steinhaus 定理， 存在 B ∈ Β(X ) ，使得
lim x=Bx,Vx∈X (5-1-1) 又A∈B(X),故M-A∈B(X).对于每个x∈X, (1-A)Bx=lim(1-A)B,x =im(-4 A n+1 an+)x=Ix 即(a-A)B=1 另一方面,在式(5-1-1)中,以(-A)x代替x,则 B(l-A)x=lim( )(-A) =m(A∑2)x lim(I )x=lx 即B(AI-A)=1 由定理1(2)知,M-A是正则算子并且B=(4-A).换句话 ,在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 (-4)-=∑ 由 Banach- Steinhaus定理的结论还知道 (-4)H= B Slime,-A‖ 定理3的结论使得算子A-A的正则性与复平面上的点联系起
5 B x Bx n n = →∞ lim , ∀x∈ X . (5-1-1) 又 A∈ Β(X ) ，故 λI − A∈ Β(X ) . 对于每个 x ∈ X ， I A Bx I A B xn n ( − ) = lim( − ) →∞ λ λ x A I A n i i i n lim( )( ) 0 ∑ 1 = + →∞ = − λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 (λI − A)B = I . 另一方面，在式(5-1-1)中，以 (λI − A)x 代替 x ，则 I A x A B I A x n i i i n ( ) lim( )( ) 0 1 − = ∑ − = + →∞ λ λ λ x A A n i i n i i i i n lim( ) 0 1 1 0 ∑ ∑= + + = →∞ = − λ λ x Ix A I n n n = − = + + →∞ lim( ) 1 1 λ 即 B(λI − A) = I . 由定理 1(2)知， λI − A 是正则算子并且 1 ( ) − B = λI − A . 换句话 说，在算子的点点收敛(实际上也可证明在范数收敛)意义下 ∑ ∞ = + − − = 0 1 1 ( ) n n n A I A λ λ (5-1-2) 由 Banach-Steinhaus 定理的结论还知道 || ( ) || || || 1 I − A = B − λ | | || || 1 lim || || A Bn n − ≤ ≤ →∞ λ 定理 3 的结论使得算子 λI − A的正则性与复平面上的点联系起
来,由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型,具体地说有如 下定义 定义2设X是复空间,A:X→X是线性算子,A∈C (1)若-A是正则算子,称A是A的正则点,A的正则点的 全体记为p(A),称p(4A)为A的正则集 (2)若M-A不是正则算子,称λ是A的谱点,A的谱点的全 体记为a(A),称σ(A)为A的谱集 (3)特别地,若M-A不是可逆的(即a-A不是一一的),称 几为A的特征值,A的特征值的全体记为on(A (4)若M-A可逆,但不是到上的,而值空间R(AI-A)在X中 稠密,则称λ为A的连续谱,连续谱的全体记为。(A), (5)若a-A可逆,而值空间R(AI-A)不在X中稠密,则称λ 为A的剩余谱,其全体记为σ(A) σn(4),σ(A),G(A)分别称为A的点谱,连续谱和剩余谱集 此外,若(-A)-存在,则称R(,A)=(-A)-是A的预解式 明显地,若∈p(4),则存在x≠0使得(-A)x=0,此时称 x是A的相应于A的特征向量.称N(M-A)是A的相应于A的特征 向量空间 由定义还知道复平面C=p(4)Ua(4)并且p(A)∩a(4)=⑧.另 外G,(A),(A),,(A互不相交并且 o(4)=a2(4)Ua(4)U(4) 算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系算子方程解的 存在性,唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来 决定 6
6 来，由此我们可以将整个复平面上的点分为若干类型， 具体地说有如 下定义. 定义 2 设 X 是复空间， A：X → X 是线性算子， λ ∈C . (1) 若 λI − A 是正则算子，称 λ 是 A 的正则点， A 的正则点的 全体记为 ρ(A)，称 ρ(A)为 A 的正则集. (2) 若 λI − A不是正则算子， 称 λ 是 A 的谱点， A 的谱点的全 体记为 σ (A)，称 σ (A)为 A 的谱集. (3) 特别地, 若 λI − A 不是可逆的(即 λI − A 不是一一的)， 称 λ 为 A 的特征值， A 的特征值的全体记为 (A) σ p . (4) 若 λI − A可逆，但不是到上的，而值空间 R( ) λI A − 在 X 中 稠密，则称 λ 为 A 的连续谱，连续谱的全体记为 (A) σ c ， (5) 若 λI − A可逆，而值空间 R( ) λI A − 不在 X 中稠密，则称 λ 为 A 的剩余谱，其全体记为 ( ) σ r A . (A) σ p , (A) σ c , ( ) σ r A 分别称为 A 的点谱, 连续谱和剩余谱集. 此外, 若 1 ( ) − λI − A 存在，则称 1 ( , ) ( ) − R λ A = λI − A 是 A 的预解式. 明显地, 若 (A) λ ∈σ p ，则存在 x ≠ 0 使得 (λI − A)x = 0， 此时称 x 是 A 的相应于 λ 的特征向量. 称 N(λI − A) 是 A 的相应于 λ 的特征 向量空间. 由定义还知道复平面 C = ρ(A) ∪σ (A) 并且 ρ() () A A ∩σ = ∅ . 另 外 (A) σ p ， ( ), ( ), σ c r A A σ 互不相交并且 () () () () σ A AAA = σσσ pcr ∪ ∪ . 算子谱的概念和算子方程的解的状况有直接联系.算子方程解的 存在性，唯一性乃至解关于所给初始条件的连续依赖性都可以由谱来 决定
定理4设X是 Banach空间,A∈B(X) 1)A∈p(A)当且仅当非齐次方程 (l-A)x=y (5-1-3) 对于任何ν∈X的解存在,唯一.此时存在常数c>0使得 ‖x|cy‖,其中x是与y相应的(5-1-3)的解 (2)∈n(4)当且仅当齐次方程 (a-A)x=0 有非0解 (3)A∈a(A)∪a(A)当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一0解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个y∈X有解 证明1°4∈p(A),则(4-A)∈B(X)并且 (-A)(-A)=I,故 x=(-A)(-A)x=(4-A)y, 并且 x‖=(AI-A)ys‖(I-A)-1Ⅲy‖ 由于当y=0时x=0,故解是唯一的 反之,若所说的条件成立,当y=0时,x=0,即方程 (-A)x=0有唯一的0解或N(-A)x={0}M-A是一一映射, (/-A)存在,(-A)x=y对于每个y有解,故A-A是到上的, 由定理1(4)知a-A是正则算子,即∈p(A) 2°若A∈n(4),则石-A不可逆(不是一一的),于是存在 ,x2∈X ≠x (-A)x1=(/-A)x2 从而 (-A)(x1-x2)=0,x1-x2≠0.即齐次方程有非0解.反之若 x∈X,x≠0,(-A)x=0,但显然(-A)0=0,故A-A不是
7 定理 4 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) . (1) λ ∈ ρ(A) 当且仅当非齐次方程 ( ) λI − = Ax y (5-1-3) 对于任何 y X ∈ 的解存在，唯一 . 此时存在常数 c > 0 使 得 || || || || x ≤ c y ，其中 x 是与 y 相应的(5-1-3)的解. (2) (A) λ ∈σ p 当且仅当齐次方程 (λI − A)x = 0 (5-1-4) 有非 0 解. (3) () () λ ∈σ σ c r A A ∪ 当且仅当齐次方程(5-1-4)有唯一 0 解而相 应的非齐次方程(5-1-3)不是对于每个 y X ∈ 有解. 证 明 D 1 λ ∈ ρ(A) , 则 ( ) ( ) 1 I − A ∈ Β X − λ 并 且 I − A I − A = I − ( ) ( ) 1 λ λ ，故 1 1 x ( )( ) ( ) λλ λ I A I Ax I A y − − =− − =− ， 并且 1 1 || || || ( ) || || ( ) || x IAy IA λ λ − − =− ≤− || || y 由于当 y = 0时 x = 0，故解是唯一的. 反之，若所说的条件成立，当 y = 0 时 ， x = 0 ，即方程 (λI − A)x = 0有唯一的 0 解或 N(λI − A)x = {0}. λI − A是一一映射， 1 ( ) − λI − A 存在， ( ) λI − = Ax y 对于每个 y 有解，故 λI − A是到上的， 由定理 1(4)知 λI − A是正则算子，即 λ ∈ ρ(A) . D 2 若 (A) λ ∈σ p ， 则 λI − A 不可逆 (不是一一的 ),于是存在 x1 , x2 ∈ X ， 1 2 x ≠ x ， 1 2 (λI − A)x = (λI − A)x ，从而 ( )( ) 0 λI − A x1 − x2 = ， 0 x1 − x2 ≠ . 即齐次方程有非 0 解 . 反之若 x ∈ X ， x ≠ 0 ， (λI − A)x = 0，但显然 (λI − A)0 = 0 ，故 λI − A不是
的,A∈n(A) 3°齐次方程只有0解对应于算子AI-A是一一的.不是对于 每个y∈X有解对应于A-A不是到上的.故(3)成立 定理5设X是 Banach空间,A∈B(X).则 (1)p(A)是开集 (2)G(A)是紧集 证明1若λ∈p(4),A-A是正则算子.我们证明只要 l2-nok -A也是正则算子,即A∈p(4)从而 p(4)为开集 实际上,记O叫(41-A)‖12-4|,则0≤0n,则 Bn-B‖=∑(-1)(2l-4)"(-)‖ i=n+1 ≤∑(-A)|r"(-2) =(4/-A∑0→0(m,n→∞) 所以{Bn}是B(X)中的 Cauchy序列.B(X)是 Banach空间,故存在 B∈B(X), lim B=B或者 B=∑(-1)(21-A)(2-1) (5-1-5) 现在 l(a-A)B-(-A)Bn‖s‖!-A‖B-B 所以
8 一一的， (A) λ ∈σ p . D 3 齐次方程只有 0 解对应于算子 λI − A是一一的. 不是对于 每个 y X ∈ 有解对应于 λI − A不是到上的. 故(3)成立. 定理 5 设 X 是 Banach 空间， A∈ Β(X ) . 则 (1) ρ(A)是开集, (2) σ (A)是紧集. 证明 D 1 若 ( ) λ0 ∈ ρ A ， λ0 I − A是正则算子. 我们证明只要 || ( ) || 1 | | 1 0 0 − − − n，则 ( 1) 0 0 1 || || || ( 1) ( ) ( ) || m i ii m n i n B B IA λ λλ − + = + −= − − − ∑ || ( ) || | ( ) | 0 1 1 1 0 i m i n i ≤ ∑ λ I − A λ − λ = + − + 1 0 1 || ( ) || 0 m i i n λ θ I A − = + =− → ∑ (m,n → ∞) 所以 { } Bn 是 Β(X )中的 Cauchy 序列. Β(X )是 Banach 空间，故存在 B ∈ Β(X ) ， Bn B n = →∞ lim 或者 i i i i B ( 1) ( I A) ( ) 0 ( 1) 0 0 = − λ − λ − λ − + ∞ = ∑ (5-1-5) 现在 || ( ) ( ) || A Bn λI − A B − λI − ≤ || || λI − A || || B B n − →∞ 所以
(aI-A)B=lim(aI-A)B im(M-AC∑(-1)(40/-A)1(A-0)) im[(-0)+(-A) C(-1)(4l-4)-(x-)) in[-(-1)(2l-A)m(-40)]=1 同样地 B(I-A=lim B, (I-A)=I 由定理1(2)知,H-A是正则算子,A∈p(A) 2°由 von neumann定理,当‖A‖!A时,a-A是正则算子, 故(A)是平面C中的有界集,又a(A)=C\p(A)是闭集.所以(A) 是C中的紧集 定理6( Gelfand- Mazur)设X是非零 Banach空间,A∈B(X) 则G(A)≠ 证明注意∈p(4),f∈B(X),则F(4)=f(I-A)) 是复值函数.由定理5以及∫的连续性 F(4)=(B)=∑(-1)f(0l-4)1)-4)(51-6) 至少在|A-2k 时成立 于是,F(4)是p(A)中的解析函数,若σ(A)=⑧,则F(A)在整
9 n n ( I − A)B = lim( I − A)B →∞ λ λ lim( )·( ( 1) ( ) ( ) ) 0 ( 1) 0 0 i i n i i n = λI − A − λ I − A λ − λ − + = →∞ ∑ lim[( ) ( )] 0 I 0 I A n = − + − →∞ λ λ λ · ( ( 1) ( ) ( ) ) 0 ( 1) 0 0 i i n i i − λ I − A λ − λ − + = ∑ I I A I n n n n = − − − − = + − + + →∞ lim[ ( 1) ( ) ( ) ] 1 0 ( 1) 0 1 λ λ λ . 同样地 B I A B I A I n n − = − = →∞ (λ ) lim (λ ) . 由定理 1(2)知， λI − A是正则算子， λ ∈ ρ(A) . D 2 由 von Neumann 定理，当 || || | | A < λ 时，λI − A是正则算子， 故 σ (A)是平面 C 中的有界集，又 σ (A) = C \ ρ(A) 是闭集. 所以 σ (A) 是 C 中的紧集. 定理 6( Gelfand-Mazur) 设 X 是非零 Banach 空间， A∈ Β(X ) ， 则 σ ( ) A ≠ ∅ . 证明 注意 ∀ ∈λ ρ( ) A ， * f ∈ Β(X ) ，则 ( ) (( ) ) −1 F λ = f λI − A 是复值函数. 由定理 5 以及 f 的连续性， F(λ) = f (B) i i i i ( 1) f (( I A) )( ) 0 ( 1) 0 0 = − λ − λ − λ − + ∞ = ∑ (5-1-6) 至少在 || ( ) || 1 | | 1 0 0 − − − < λ I A λ λ 时成立. 于是， F(λ) 是 ρ(A) 中的解析函数，若 σ ( ) A = ∅ ，则 F(λ)在整
个复平面C上解析根据 von neumann定理,当|A|>‖!A‖时, (-A)-| A|-‖A‖ 故 f(-A)-)k 1A|-‖A‖ F(η)在C上有界,根据 Liouville定理,F(λ)只能是常数,由式(5-1-7) 必有F(4)=0,Vλ∈C,特别地F(0)=0.以上分析对于任何 f∈B(X)成立 由于X是非0空间,B(X)是非零 Banach空间,从a(4=得 知0∈p(A),从而A-∈B(X).由Hahn- Banish定理,存在 f∈B(X)使得f()=4-|≠0.若F是与∫相应的解析函数,将 λ=0代入F(4)在0点的展开式便得到F(0)=-f(A-)≠0,这与 F(4)≡0矛盾.故(A)≠ 定义3称r(A)=max|A|为算子A的谱半径 A∈a(A 从几何观点看,r(A)就是复平面中以原点为中心,包含(A)的 最小圆盘的半径 定理7( Gelfand)设X为 Banach空间,则 r(A)=imⅦA (5-1-8) 证明1°首先我们证明右端极限存在并且等于infA"‖.为 简便计,令a=infⅦA"‖.显然地 imⅦA‖≥infⅦA"‖=a (5-1-9)
10 个复平面 C 上解析.根据 von Neumann 定理，当 | | || || λ > A 时， | | || || 1 || ( ) || 1 A I A − − < − λ λ . 故 0 | | || || || || | (( ) ) | 1 → − − < − A f f I A λ λ ( ) λ → ∞ (5-1-7) F(λ)在 C 上有界，根据 Liouville 定理，F(λ)只能是常数. 由式(5-1-7) 必 有 F C ( ) 0, λ = ∀ ∈λ ，特别地 F(0) = 0 . 以上分析对于任何 * f ∈ Β(X ) 成立. 由于 X 是非 0 空间， Β(X )是非零 Banach 空间，从 σ ( ) A = ∅ 得 知 0∈ ρ(A) , 从 而 ( ) 1 A ∈ Β X − . 由 Hahn-Banish 定 理 , 存 在 * f ∈ Β(X ) 使得 ( ) || || 0 1 1 = ≠ − − f A A . 若 F 是与 f 相应的解析函数，将 λ = 0 代 入 F(λ) 在 0 点的展开式便得到 (0) ( ) 0 1 = − ≠ − F f A ，这与 F() 0 λ ≡ 矛盾. 故 σ ( ) A ≠ ∅ . 定义 3 称 ( ) max | | ( ) λ λ σ A r A ∈ = 为算子 A 的谱半径. 从几何观点看， r(A) 就是复平面中以原点为中心，包含 σ (A)的 最小圆盘的半径. 定理 7(Gelfand) 设 X 为 Banach 空间，则 n n n r(A) lim || A || →∞ = (5-1-8) 证明 D 1 首先我们证明右端极限存在并且等于 n n n inf || A || ≥1 . 为 简便计，令 n n n a inf || A || ≥1 = . 显然地 1 lim || || inf || || n n n n n n A A a →∞ ≥ ≥ = . (5-1-9)