两维期望、方差、协方差的定义 两维期望、方差、协方差的性质
两维期望、方差、协方差的定义 两维期望、方差、协方差的性质
3、矩与相关系数 设k为正整数,ξ为随机变量,如果下面的数学 期望存在,则 1)称k=E(5)为5的k阶原点矩; 2)称v=E(5-E5)为5的k阶中心矩. 例如:一阶原点矩就是数学期望, 二阶中心矩就是方差
3、矩与相关系数 设 k 为正整数， ξ 为随机变量，如果下面的数学 期望存在，则 1) 称 )( k k = E ξμ 为 ξ 的 k阶原点矩； 2) 称 k k −= EEv ξξ )( 为 ξ 的 k阶中心矩 . 例如：一阶原点矩就是数学期望， 二阶中心矩就是方差
例1试求正态分布N(,a2)的各阶中心矩与原点矩。 解:设k为正整数,点~N(A,a2),则k阶中心矩为 =E(-E)=E(5-) dx 2丌 引进标准化变换2=y k为奇数 g Kye 2 dy=3 2[+oo_ 2丌 ay^e2d’k为偶数 2丌
例 1 试求正态分布 ),( 2 N σμ 的各阶中心矩与原点矩。 解：设k 为正整数， ),(~ 2 N σμξ ，则k 阶中心矩为 k k k EEEv −=−= μξξξ )()( ∫ ∞+∞− − − = − dxex x k 2 2 2)( )( 21 σμ μ σπ 引进标准化变换 y x = − σ μ 为偶数 为奇数 k k dyey v dyey y kk y kk k , 2 2 0 2 1 0 2 2 2 2 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = ∫ ∫ ∞+ − ∞+∞− − σ π σ π
利用x2(k+1)的密度规范性: k+1 k+1 k+1 丌 k+1k-1k-3、1 注意到() )()…(=r( 2 故Vk (k-1) (k-l!o 综上所述 k为奇数 (k-1)!l k为偶数
利用 )1( 2 χ k + 的密度规范性： k k k k k k k v σ π σ π ) 2 1 (2 2 ) 2 1 (2 2 2 1 + Γ = + Γ = + 注意到 ) 21() 21() 2 3 )( 2 1 () 2 1 ( Γ −− = + Γ " kkk 故 k k k k k v σπ σ π !)!1( !)!1( −= − = . 综上所述 为偶数 为奇数 k k k vk k , !)!1( 0 ⎜⎜⎝⎛ − = σ
注意到k=1时4=E=4 当k>1时,原点矩为 k =E=∑:-E)(E5) i=0
注意到k =1时μ1 = Eξ = μ 。 当k >1. 时，原点矩为 i ik k i k k EEE i k E − = ⋅− ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ == ∑ )()( 0 ξμ ξξξ ik i k i v i k − = ∑ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = μ 0
相关系数 定义:称 Cov(号,7) 为随机变量与m的相关系数,记为p DE Dn Cov(号,7) DE Dn P是无量纲的量。 结论:p=CoV5,,其中5-En-En DS LIE: Cov(s, n=es n -es en =e( 5-E5-E7 D"√Dm E(5-E5)(-Em) b√D7
相关系数 定义： ηξ ρξη ηξ ηξ 称 为随机变量 与 的相关系数，记为 DDCov ),( ηξ ηξ ρξη DDCov ),( 即 = ρξη是无量纲的量。 η ηη η ξξξ ξη ηξρ ξ DE DE Cov − = − = = ** * * 结论： ),( ， 其中 , ),( )(( ) ** ** ** η ηη ξ ξξ ηξηξηξ DE DE Cov EEEE −− −= = ρξη ηξ ηηξξ = −− = DD EEE ))(( 证：
相关系数的性质 性质1任意两个随机变量的相关系数的绝 对值不超过1,即|0|1 证明:设5=+m DS =D(s +n)=ds +Dn+2 cov(s, n) =2±2pEn 2(1土pn)≥0 1±pn≥0 1≤P切 ≤1|p切|s1
性质 1.任意两个随机变量的相关系数的绝 对值不超过 1，即 ≤ 1|| ρ ξη . 证明：设 ** += ηξζ )( ),cov(2 ** * * ** ∵ DD DD ±+=±= ηξηξηξζ 22 **ηξ = ± ρ = ± ρ ξη )1(2 ≥ 0. ≥± 01 ξη 相关系数的性质 ρ − ≤ ρ ξη ≤ 11 ≤ 1|| ρ ξη
性质2.P=±1的充要条件为:5与间“几乎处 处”有线性关系,即存在常数a(≠0)与b,使 1,a>0 P{=n+b}=1,且P a<0 证明:(1)必要性:设n=±1,令5=5千m,由于 D5=D(5m)=2(1P), 当n=±1时D=0。故P(=E5)=1,即 P5n2=0)=P(5E=+-E1 a=+ ,b=D后,就有 DE P(n=a5+b)=1
性质 2. = + 1 ρ ξη 的充要条件为：ξ 与η 间“几乎处 处”有线性关系，即存在常数 a ≠ )0( 与 b ， 使 {η = ξ + baP = 1} ，且 1, 0 1, 0 a a ρξη ⎧ > = ⎨⎩− < . 证明：(1)必要性：设 ρ ξη = + 1，令 ** = ∓ηξζ ，由于 )1(2)( ** = DD ∓ηξζ = ∓ ρ ξη ， 当 += 1 ρ ξη 时 Dζ = 0。故 ζ = EP ζ = 1)( ，即 ()0( 1) ** = − += − == η η η ξ ξ ξ ηξ D E D E P ∓ P 。 令 ξηDD a += ， ξ ξη η E DD Eb += 后，就有 η = ξ + baP = 1)(
2)充分性:设存在常数a,b,使P{=a5+b}=1, 由于“零概集”{≠a5+b}不影响期望计算,故 En=eas +6=aes +6, Dn= d(af +b)=aDs 注意到 c0v(2,m)=E(-E5)(-Em) E(-E)(a5-aE5)=aE(5-E5)2=aD5 cov(,n) aDS √D√ Dn D5 va2Dn 因此当a>0时pn=1,a<0时pn=-1
(2)充分性：设存在常数 a ,b，使 {η = ξ + baP = 1} ， 由于“零概集”{η ≠ ξ + ba }不影响期望计算，故 η = ξ + }{ = ξ + baEbaEE ， ξη DabaDD ξ 2 )( =+= 注意到 ξ η = ξ − ξ η − EEE η)))((),cov( =−=−−= aDEaEaEaEE ξξξξξξξ 2 )())(( ， a a DaD aD DD = = = ηξ ξ ηξ ξ η ρ ξη 2 ),cov( 。 因此当a > 0时ρ ξη = 1，a < 0时ρξη = −1
注意:随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量 之间的线性相关性。随机变量之间的线性相关 性就是:当一个变量增大时另一变量有按线性 关系增大(当b>0)或减小(当b<0)的趋势。 当相关系数愈接近1或-1时,这种趋势就愈明 显
注意：随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量 之间的线性相关性。随机变量之间的线性相关 性就是：当一个变量增大时另一变量有按线性 关系增大（当 b > 0）或减小（当 b < 0）的趋势。 当相关系数愈接近 1 或-1 时，这种趋势就愈明 显