第二章函数基本逼近(一) 插值逼近 本章和下章的内容属于函数逼近论。 函数逼近论的基本思想: 用一个简单函数o(x)去逼近一般函数f(x)。 简单函数:如 代数多项式、三角多项式 分段(对高维:分片)多项式 重要术语: f(x):被逼近函数(x):逼近函数 两个要素: 1.逼近方式 (1)插值方式( Chapter2) (2)最佳逼近方式( Chapter3) 2.逼近函数空间(简单函数所属的空间) 多项式函数空间分段多项式(样条函数)空间 本章主要内容 在插值方式(意义)下 (这时f(x):被插值函数,(x):插值函数) 针对以下两种逼近函数空间 ①代数多项式空间 ②分段代数多项式空间
第二章 函数基本逼近（一） ——插值逼近 本章和下章的内容属于函数逼近论。 函数逼近论的基本思想： 用一个简单函数 (x) 去逼近一般函数 f (x) 。 简单函数：如 代数多项式、三角多项式 分段（对高维：分片）多项式。 重要术语: f (x) : 被逼近函数 (x) : 逼近函数 两个要素： 1． 逼近方式 （1）插值方式（Chapter 2） （2）最佳逼近方式(Chapter 3) 2． 逼近函数空间(简单函数所属的空间) 多项式函数空间 分段多项式（样条函数）空间 本章主要内容 在插值方式（意义）下 （这时 f (x) : 被插值函数, (x) : 插值函数）， 针对以下两种逼近函数空间： ① 代数多项式空间 ② 分段代数多项式空间
讨论三类插值(逼近)问题: Lagrange插值 仅与函数值有关 、 Hermite插值 与函数和导函数值均有关 、样条(或分段)插值 满足一定光滑(连接)条件的分段低次插值 每类插值问题所涉及的基本内容 1.问题提法 2.问题的适定性(解的存在、唯一性) 3.问题解(插值函数)的常用算法 误差分析(逼近度刻化) 下面先看几个典型例子: 例1.1求区间1.上的二次(抛物)曲线要求该曲线 过样本点A(.0)、B(,0.25)和C(1.) 解设所求抛物线的方程为 v=a+ bx+cx 利用待定系数法,经简单计算可得 其图形如图1.1所示. C 图1.1
讨论三类插值（逼近）问题： 一、 Lagrange 插值 仅与函数值有关 二、 Hermite 插值 与函数和导函数值均有关 三、 样条（或分段）插值 满足一定光滑（连接）条件的分段低次插值 每类插值问题所涉及的基本内容 1． 问题提法 2． 问题的适定性（解的存在、唯一性） 3． 问题解（插值函数）的常用算法 4． 误差分析（逼近度刻化） 下面先看几个典型例子： 例 1.1 求区间 [0,1.5] 上的二次（抛物）曲线,要求该曲线 过样本点 A(0.5,0)、B(1,0.25) 和 C(1.5,1) . 解 设所求抛物线的方程为 2 y a bx cx = + + ， 利用待定系数法，经简单计算可得 1 2 4 y x x = − + ， 其图形如图 1.1 所示. 图 1.1
该例子引出的是 Lagrange型多项式插值问题, 这时给定样本点的纵坐标中仅涉及被逼近函数值 例1.2求区间[上的三次曲线,要求该函数曲线过 样本点A0.1)和B(,0),且其一阶导函数曲线过样本点 (0,0)和(,1)(即函数曲线在0,1点处的斜率分别为0和1) 解设所求的三次曲线为 y=a+bx+cx+dx, 类似于例1.1的计算,可得 其图形如图1.2所示 图1.2 该例子引出的是 Hermite型多项式插值问题, 这时给定的样本点的纵坐标中除包含函数值外,还包含一阶导数值 例1.3求区间[-2,2]上的二阶连续可微的分段三次多项式曲线 (其内部段点分别为-1,0,1),要求该曲线过点 4(20.B(-1C(03D和E(20,且在A、E两点的导数为0 解注意所求函数为偶函数,利用待定系数法 经计算可求得该函数在x∈[0.2上的表示式为 -x3-x2+ 0≤x<1 4 其图形如图1.3所示
该例子引出的是 Lagrange 型多项式插值问题, 这时给定样本点的纵坐标中仅涉及被逼近函数值. 例 1.2 求区间 [0,1] 上的三次曲线，要求该函数曲线过 样本点 A(0,1) 和 B(1,0) ，且其一阶导函数曲线过样本点 (0,0) 和 (1,1) （即函数曲线在 0,1 点处的斜率分别为 0 和 1 ）. 解 设所求的三次曲线为 2 3 y a bx cx dx = + + + ， 类似于例 1.1 的计算，可得 2 3 y x x = − + 1 4 3 ， 其图形如图 1.2 所示. 图 1.2 该例子引出的是 Hermite 型多项式插值问题， 这时给定的样本点的纵坐标中除包含函数值外，还包含一阶导数值. 例 1.3 求区间 [ 2,2] − 上的二阶连续可微的分段三次多项式曲线 （其内部段点分别为−1,0,1 ），要求该曲线过点 1 2 1 ( 2,0) ( 1, ) (0, ) (1, ) 6 3 6 A B C D − − 、 、 、 和 E(2,0) ，且在 A、E 两点的导数为 0. 解 注意所求函数为偶函数，利用待定系数法， 经计算可求得该函数在 x[0, 2] 上的表示式为 3 2 3 2 1 2 , 0 1 2 3 1 4 2 , 1 2 6 3 x x x y x x x x − + = − + − + ， 其图形如图 1.3 所示
图1.3 该例子引出的是样条插值问题, 即求满足一定的整体光滑(或连接)条件的分段插值多项式
图 1.3 该例子引出的是样条插值问题， 即求满足一定的整体光滑（或连接）条件的分段插值多项式
