课堂教学方案 课题名称:曲面上的测地线 授课时数:2 授课类型:理论课、习题课 教学方法与手段:讲授、讨论 教学目的要求:理解曲面上测地线的概念,会计算正交网的测地曲率,掌握一些特殊 曲面测地线方程求法,了解测地线的特征 教学重点、难点:测地线的几何意义及特征和测地线方程 教学内容及组织安排: 复习:①kg=±ksnO其中=∠(B,n)②kg2=k2-kn2 ③kg=F·E千(F,F,n)=(a,kB,n) ④对于正交网 k de E cos 0+ ds2E√G 个sinO其中是切方向与u-曲线的夹角 do Ey du Gu ds2√EGd ge d 62曲面上的测地线 定义曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线 命题3曲面上曲线是测地线,当且仅当曲线是直线或主法线与法线重合 证明kg=± k sin e=0分k=0或sinb=0分曲线是直线或主法线与法线 第29讲第1页共8页
第 29 讲 第 1 页 共 8 页 课 堂 教 学 方 案 课题名称：曲面上的测地线 授课时数：2 授课类型：理论课、习题课 教学方法与手段：讲授、讨论 教学目的要求：理解曲面上测地线的概念，会计算正交网的测地曲率，掌握一些特殊 曲面测地线方程求法，了解测地线的特征. 教学重点、难点：测地线的几何意义及特征和测地线方程 教学内容及组织安排： 复习：① ｋ ｇ ＝ ｋsin 其中 ＝ （ ，n ） ②ｋ ｇ 2 =k 2 -k ｎ 2 ③ｋ ｇ =ｒ =( ｒ，ｒ，ｎ )＝（ ，k ，n ） ④ 对于正交网 ｋ ｇ = d ds － v cos 2 E E G + u sin 2 G G E 其中 是切方向与 u－曲线的夹角 ＝ d ds － v du 2 ds E EG + u dv 2 ds G GE 6.2 曲面上的测地线 定义 曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线. 命题 3 曲面上曲线是测地线，当且仅当曲线是直线或主法线与法线重合. 证明 ｋ ｇ ＝ ｋsin ＝0 ｋ＝0 或 sin ＝0 曲线是直线或主法线与法线
重合 推论如果两曲面沿一曲线相切,且此曲线是一个平面的测地线,那么它也是另 个曲面的测地线 分析此时两曲面有相同的法线和相同的主法线 例题1球面上的球大圆一定是测地线 证明1球大圆的主法线与法线重合,所以球大圆一定是测地线 证明2设大圆的半径为R,则由率F,而法截线是球大圆,所以法曲率=士 R 下面给出曲面上测地线的(微分)方程 由于n,r=0i=1,2 B=0(非直线的测地线有B=±n) 或,=0=∑ ddt+∑ y ds ds du' du n(P146) 两边点乘而,得∑gm(+∑ ds 由于g=det(gum)≠0,于是得测地线方程 d u =0k=1,2 ds ds 第29讲第2页共8页
第 29 讲 第 2 页 共 8 页 重合. 推论 如果两曲面沿一曲线相切，且此曲线是一个平面的测地线，那么它也是另 一个曲面的测地线. 分析 此时两曲面有相同的法线和相同的主法线 例题 1 球面上的球大圆一定是测地线. 证明 1 球大圆的主法线与法线重合，所以球大圆一定是测地线 证明 2 设大圆的半径为 R，则曲率 k＝ 1 R ，而法截线是球大圆，所以法曲率＝ 1 R ， ｋ ｇ ＝ 2 2 n k k − ＝0 下面给出曲面上测地线的（微分）方程 由于 n i r ＝0 i＝1，2 i r ＝0 （非直线的测地线有 ＝ n ） 或 r i r ＝0 r ＝ i i du ds i r r ＝ k （ 2 k 2 d u ds + i,j k ij i du ds j du ds ） k r + i,j Lij i du ds j du ds n （P146） 两边点乘 m r ，得 k km g （ 2 k 2 d u ds + i,j k ij i du ds j du ds ）＝0 由于 g＝det（ km g ） 0，于是得测地线方程 2 k 2 d u ds + i,j k ij i du ds j du ds ＝0 k＝1，2
du+srl du du' 注测地线方程只与第一基本量有关,所以在等距对应下测地线变测地线 曲面r=r(u,v)的坐标网正交时,曲面的测地线方程是一个含有三个变量uv 和一个自变量s的一阶微分方程组 E se. ds2E√G 2G√E de e du cos日 ds2E√G JE 或 dy sin e ds VG 注坐标曲线时慎用第二个公式,因为可能有du=0或dv=0 给出初始条件u(s0)=u0,v(s0)=vo,b(s0)=b0时方程组有唯一解 u=u(s),V=v(s),6=6(s)(其中u(s0)=u0,v(s0)=v0确定点, 6(s0)=b确定方向) 定理1对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量,则在曲面上必存在唯 一条测地线通过该点切于此方向.(具有同方向的测地线必重合) 分析由测地线方程du ds2+2 rk du'du' 0k=1 知道 d ds ds 给出初始条件s=So,u=u0’d )。,也就是给出曲面的一个点和一个 第29讲第3页共8页
第 29 讲 第 3 页 共 8 页 即 2 1 i j 1 2 ij i,j 2 2 i j 2 2 ij i,j d u du du + 0 ds ds ds d u du du + 0 ds ds ds ＝ ＝ 注 测地线方程只与第一基本量有关，所以在等距对应下测地线变测地线. 曲面 r＝r（u，v）的坐标网正交时，曲面的测地线方程是一个含有三个变量 u,v, 和一个自变量 s 的一阶微分方程组 d v u cos sin ds 2 2 du cos ds dv sin ds E G E G G E E G − ＝ ＝ ＝ 或 d v u cos sin ds 2 2 du cot dv E G E G G E − ＝ G ＝ E 注 坐标曲线时慎用第二个公式，因为可能有 du＝0 或 dv＝0 给出初始条件 u（s 0 ）＝u 0 ，v（s 0 ）＝v 0 ， （s 0 ）＝ 0 时方程组有唯一解 u＝u（s），v＝v（s）， ＝ （s）（其中 u（s 0 ）＝u 0 ，v（s 0 ）＝v 0 确定点， （s 0 ）＝ 0 确定方向） 定理 1 对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量，则在曲面上必存在唯 一的一条测地线通过该点切于此方向. （具有同方向的测地线必重合） 分析 由测地线方程 2 k 2 d u ds + i,j k ij i du ds j du ds ＝0 k＝1，2 知道 给出初始条件 s＝s 0，u k ＝u 0 k ， k du ds ＝ 0 k s du ds （ ） ，也就是给出曲面的一个点和一个
方向,根据微分方程理论,存在唯一一条曲线C:u=u(s),过已知点r(u(s0) (s。),且切于给定的方向(0,(=)) 注在曲面的同一点,具有相同切线的一切曲线中,测地线的曲率最小且测地线的曲率 等于同一方向的法截线的曲率(k2=kn2+kg2而kg=0) 例题2球面上的测地线一定是球大圆 证明由定理1知道,对于球面上任意给定点和该点的一个切方向,都可以引一条大圆 弧,大圆弧通过该点,使得大圆弧的切方向就是给定方向,而大圆弧就是测地线,由测地线 的唯一性,知道所有测地线就是大圆弧全体 例题3曲面的第一基本形式为I=E(u)du2+G(u)dv2求证 (1)u-曲线是测地线 (2)v-曲线是测地线的充要条件是Gu(u) 证明对于u-曲线,O=0,从而dO=0,而Ev(u)=0 de e 则k 0+ ds 2E 后 2GVE SIne u-曲线是测地线 习题解答 P1707求证旋转面的子午线(经线)是测地线而平行圆仅当子午线的切线平行于旋 转轴时(如柱面)才是测地线.(类上例) x=f(v) 证明设xz平面曲线C: lz=g (v) 绕z轴旋转一周后得到旋转曲面的方程是 第29讲第4页共8页
第 29 讲 第 4 页 共 8 页 方向，根据微分方程理论，存在唯一一条曲线 C：u k ＝u k （s），过已知点 r（u 1 （s 0 ），u 2 （s 0 ）），且切于给定的方向（ 1 0 du ds （ ）， 2 0 du ds （ ） ） 注 在曲面的同一点，具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小且测地线的曲率 等于同一方向的法截线的曲率.（k 2 ＝k ｎ 2 +ｋ ｇ 2 而ｋ ｇ =0） 例题 2 球面上的测地线一定是球大圆. 证明 由定理 1 知道，对于球面上任意给定点和该点的一个切方向，都可以引一条大圆 弧，大圆弧通过该点，使得大圆弧的切方向就是给定方向，而大圆弧就是测地线，由测地线 的唯一性，知道所有测地线就是大圆弧全体. 例题 3 曲面的第一基本形式为 I＝E（u）du 2 +G（u）dv 2 求证 （1）u-曲线是测地线 （2）v-曲线是测地线的充要条件是 G u （u） 证明 对于 u-曲线， ＝0，从而 d ＝0，而 E v （u）＝0 则ｋ ｇ = d ds － v cos 2 E E G + u sin 2 G G E ＝0 u-曲线是测地线. 习题解答 P170 7 求证旋转面的子午线（经线）是测地线.而平行圆仅当子午线的切线平行于旋 转轴时（如柱面）才是测地线.（类上例） 证明 设 xz 平面曲线 C： x f v z g v ＝ （ ） ＝ （ ） 绕 z 轴旋转一周后得到旋转曲面的方程是
r(u, v)=f(u)cos u, f(u)sin u, g(u)) 则I=P2dn2+2+(g)2at 旋转面的u一曲线是纬线,v一曲线是经线(子午线) 对于ⅴ-曲线k==0,∴经线是测地线 2G√E E 对于u一曲线k 2E√G g 若kg=0,则f’(v)=0,即f(v)=常数,即纬线上任何点的母线在该点 的切线与旋转轴平行 P1708求证: (1)如果测地线同时也是渐近线,则它是直线 (2)如果测地线同时也是曲率线,则它是平面曲线 证明(1)由k2=kn2+k,2=0,则k=0,所以是直线 (2)①当曲线是直线时,当然是平面曲线 ②当曲线不是直线时,由B=±n,可得 ka+y=±n=±a(曲率线dr=dn)∴=0,平面曲线 P17012证明,若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线,则它必为曲率线 证明B∥n,所以dn=±dB=±(-ka+ty)ds(r=0)=±kads ±kdr 所以是曲率线 P1709已知曲面的第一基本形式I=v(du2+dv2),证明它上面的测地线是uv平面 的抛物线 第29讲第5页共8页
第 29 讲 第 5 页 共 8 页 则 旋转面的 u－曲线是纬线，v－曲线是经线（子午线） 对于 v－曲线ｋ ｇv = u 2 G G E ＝0， 经线是测地线 对于 u－曲线ｋ ｇu ＝－ v 2 E E G ＝－ 2 f v f v f g + 2 （ ） （ ） 若ｋ ｇu ＝0，则 f （v）＝0，即 f（v）＝常数，即纬线上任何点的母线在该点 的切线与旋转轴平行. P170 8 求证： （1）如果测地线同时也是渐近线，则它是直线. （2）如果测地线同时也是曲率线，则它是平面曲线. 证明 （1）由 k 2 ＝k ｎ 2 +ｋ ｇ 2 ＝0，则 k＝0，所以是直线. （2）①当曲线是直线时，当然是平面曲线 ②当曲线不是直线时，由 ＝ n ，可得 －k + ＝ n ＝ （曲率线 dr＝dn） ＝0，平面曲线. P170 12 证明，若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线. 证明 ∥n， 所以 d n＝ d ＝ （－k + ）ds（ ＝0）＝ k ds ＝ kdr 所以是曲率线. P170 9 已知曲面的第一基本形式Ⅰ=v（du 2 +dv 2 ），证明它上面的测地线是 uv 平面 的抛物线
证明由题设,E=G=V,F=0,于是 E 1,E=Gv=0. 由F=0知曲面的坐标网是正交网,由测地线的微分方程得 尝=s6=cs6 d 0= 2(0-s0=尝 化简得du= cot bdv du=2vd6所以 cot edv=2vd6 C 积分得cos6=(C为积分常数)于是 du d√a-Cz u=2C√-C2,或v2=4C2(x-C2) 所求的测地线在u平面上是抛物线 P17010求正螺面r={ ucos, using,av}上的测地线(练习) 解正螺面的第一基本量为 E=1,F=0,G=2+a2 由F=0知正螺面的坐标曲线正交,并由测地线的微分方程得 dvE G √a+a de 1/EaIn E 1 aInG d=2Va-20 tan 6 I dIn(u+a) 第29讲第6页共8页
第 29 讲 第 6 页 共 8 页 证明 由题设，E＝G＝v，F＝0，于是 化简得 du＝cot dv du＝2vd 所以 cot dv＝2vd 积分得 cos ＝ v C (C 为积分常数) 于是 P170 10 求正螺面 r={ucosv，usinv，av }上的测地线.（练习） 解 正螺面的第一基本量为
由(2)得 cot ed6 dn(u2+a2), 积分得1 sine=-dn(u2+a2)+C,于是 + cos0 Vu2+a2-C2 积分得v=C u+a-C2Vu +a? +C2取不同的常数得不同的测地线,其中C 取零时,得直母线 P17011利用刘维尔公式证明:(1)平面上的测地线是直线;(2)圆柱面上的测地线 是圆柱螺线 证明(1)法1对于平面I=du2+dv2E=G=1E,=Gn=0 ne 由测地线方程,得 de 所以b=C1,v=(tanb)u+C2即测地线是直线 法2平面上任一点的任意方向作直线,则一定是过该点测地线,由测地线的唯 性,知道平面上的测地线一定是直线 法3r=r(u(s),u2(s)为平面的测地线,n为平面的单位法向量 则『∥n而i.n=0,n是常向量(i·n)'=0,即i·n=0 所以r=0,进而k=|r|=0 (2)对于圆柱面r={ Rosy, Sinu,v}E=R2,F=0,G 第29讲第7页共8页
第 29 讲 第 7 页 共 8 页 由（2）得 cot d ＝－ 1 2 dln（u 2 +a 2 ）， 积分得 lnsin ＝－ 1 2 dln（u 2 +a 2 ）+C ，于是 积分得 v＝C 0 u u 2 2 2 2 2 du u a u a + + C － +C 2 取不同的常数得不同的测地线，其中 C 取零时，得直母线. P170 11 利用刘维尔公式证明：（1）平面上的测地线是直线；（2）圆柱面上的测地线 是圆柱螺线. 证明（1）法 1 对于平面Ⅰ=du 2 +dv 2 E＝G＝1 E v ＝G u ＝0 由测地线方程，得 dv tan du d 0 ds ＝ ＝ 所以 ＝C 1，v＝（tan ）u+C 2 即测地线是直线. 法 2 平面上任一点的任意方向作直线，则一定是过该点测地线，由测地线的唯一 性，知道平面上的测地线一定是直线. 法 3 r＝r（u 1 （s），u 2 （s））为平面的测地线，n 为平面的单位 法向量 则 r ∥n 而 r . n ＝0，n 是常向量 （ r n ） ＝0，即 r n＝0 所以 r ＝0 ，进而 k＝ | r |＝0 （2）对于圆柱面 r＝｛Rcosu，Rsinu，v｝ E＝R 2 ，F＝0，G＝1
E=G=0 d =Rtan e 由测地线方程,得 所以6=C1,v=(tanb)uC2 r(u)={ Rosy, Sinu,(tanb)uC,}为圆柱螺线 另外直母线也是测地线 P17014给出曲面的第一基本形式I=du2+G(u,v)dv2,如果此曲面上的测地 线与u一曲线交于a时,求证: aG 证明E=1,F=0,G=G(u,v)测地线与u-曲线的夹角为a,则 2 Gds 所以, d 课堂练习或讨论、布置作业:P170、10 第29讲第8页共8页
第 29 讲 第 8 页 共 8 页 E v ＝G u ＝0 由测地线方程，得 dv tan du d 0 ds ＝R ＝ 所以 ＝C 1，v＝（tan ）u+C 2 r（u）＝｛Rcosu，Rsinu，（tan ）u+C 2 ｝为圆柱螺线. 另外直母线也是测地线. P170 14 给出曲面的第一基本形式Ⅰ=du 2 +G（u，v）dv 2 ，如果此曲面上的测地 线与 u－曲线交于 时，求证： d dv u G ＝－ 证明 E＝1，F＝0，G＝G（u，v）测地线与 u-曲线的夹角为 ，则 d u ds 2 G G ＝－ sin ＝ u 2 G G － dv ds 所以， d dv u G ＝－ 课堂练习或讨论、布置作业：P170、10
