第八章常微分方程数值解 §1引论 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页1
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 1 第八章 常微分方程数值解 §1 引 论
解析法求解常微分方程的初值问题 y=∫(x,y),aSx≤b,yk∞, (1.1) y(a)=yo, y∈R, 如 y(O)=1 由y=y得y=ce 又由y0)=1 得C·e=1,C 初值问题解为 =已 很多时候解析解求不出来,如∫(x,y)=x2+y2 湘潭大学数学与计算科学学院 一页一页
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 2 解析法求解常微分方程的初值问题 (0) 1 y y y = = 如 又由 得 0 y(0) 1 = C e C = = 1, 1 x 初值问题解为 y e = 很多时候解析解求不出来, 如 2 2 f x y x y ( , ) = + x 由 y y = 得 y ce = 0 0 ( , ), ,| | , ( ) , , y f x y a x b y y a y y R = = (1.1)
常微分方程的初值问题 y'=∫(x,y),a≤x≤b,yk∞, y(a)=yo, y∈R, 其中∫为x,y的已知函数,y为给定的初值 为简便起见,我们将区域:a,b×R记为G,即 G=[a,b×R 设∫:G→R为连续映射,若存在常数L>0使得不等式 I f(x,y)-f(x,v2)slly, l 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页3
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 3 常微分方程的初值问题 0 0 ( , ), ,| | , ( ) , , y f x y a x b y y a y y R = = (1.1) 其中 f 为x y, 的已知函数， 0 y 为给定的初值. [ , ] a b R G, G a b R = [ , ] . 为简便起见，我们将区域： 记为 即 设 f G R : → 为连续映射，若存在常数L>0使得不等式 1 2 1 2 | ( , ) ( , ) | | |, f x y f x y L y y − −
设∫:G→R为连续映射,若存在常数L>0使得不等式 f(x,y1)-∫(x,y2)L|y1-y2, 对一切(x,y)(x,y2)∈G都成立 则称f(xy)在G上关于y满足 Lipschitz条件, 而式中的常数L称为 Lipschitz常数 切在G上关于y满足 Lipschitz条件的连续映射f 所构成的集合记为 而相应的初值问题(1.1)构成的问题类记为 湘潭大学数学与计算科学学院 页下一页4
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 4 设 f G R : → 为连续映射，若存在常数L>0使得不等式 1 2 1 2 | ( , ) ( , ) | | |, f x y f x y L y y − − 对一切 1 2 ( , ),( , ) x y x y G 都成立， 则称f (x,y)在G上关于y满足Lipschitz条件， 而式中的常数L称为Lipschitz常数. 一切在G上关于y满足Lipschitz条件的连续映射f 所构成的集合记为 ， 而相应的初值问题（1.1）构成的问题类记为
定理1中的任何初值问题在[a,b]上有连续 可微的解存在并且惟 定义1初值问题(11称为在[a,b]上是适定的, 如果存在常数k,60>0,使得对于任何的正数ESE0 及任给的函数f(x,y)和常数j,当 y。-yE,|f(x,y)-f(x,y)|E,(x,y)∈G 时初值问题z=∫(x,z),x∈a,b 09 有解x(x)存在,且不等式|y(x)-x(x)kE对任给 x∈[a,b都成立 湘潭大学数学与计算科学学院 页一页5
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 5 定理1 中的任何初值问题在[a,b]上有连续 可微的解存在并且惟一. 定义1 初值问题(1.1)称为在[a,b]上是适定的， 0 如果存在常数 k, 0, 0 使得对于任何的正数 , f x y ( , ) 0 及任给的函数 和常数 y , 当 0 0 | | , y y − | ( , ) ( , ) | , ( , ) f x y f x y x y G − 时初值问题 0 ( , ), [ , ] ( ) , z f x z x a b z a y = = 有 解z x( )存在，且不等式 | ( ) ( ) | y x z x k − 对任给 x a b [ , ]都成立
定理2中的任何初值问题在[a,b上是适定的 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页6
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 6 定理2 中的任何初值问题在[a,b]上是适定的
§2 Euler方法 、 Euler方法 二、误差分析 、Euer方法的收敛性和稳定性 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页7
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 7 §2 Euler方法 一、 Euler方法 二、误差分析 三、Euler方法的收敛性和稳定性
1、Euer方法 △:a=x<x1<x2<…<x=b 记: b h=x 等距剖分) N 因为: p(x+1)=y(x)+」厂f(,(a)d(积分方程) X= d ,有: n 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页8
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 8 1、Euler方法 0 1 2 : N = = a x x x x b 记： i i 1 b a h x x N + − = − = 因为： (等距剖分) ( ) ( ) ( , ( )) x h x y x h y x f y d + + = + (积分方程) 令： , m x x = 有：
(m +h)=y(xm+hf(m,y(xm)+r Rn=」f(x,(x)-的f(x(xn) 截去Rn有: n )≈y(xn)+lf( n y()). 由于:y(x)=y(已知),可得递推关系: ym=ym+ hf(xm,ym), m=0,,", N-1 uler方法 又称 Euler折线法 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页19
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 9 ( ) ( ) ( , ( )) , m m m m m y x h y x hf x y x R + = + + 1 ( , ( )) ( , ( )) m m x m m m x R f x y x dx hf x y x + = − 1 ( ) ( ) ( , ( )), m m m m y x y x hf x y x + + 1 ( , ), 0,1, , 1 m m m m y y hf x y m N + = + = − ——Euler方法 截去 R m 有： 由于： 0 0 y x y ( ) = (已知), 又称Euler折线法. 可得递推关系：
欧拉方法的几何意义: V( h步长 Euler方法的几何意义 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 10 欧拉方法的几何意义： 0 1 2 n x x x X x y0 y(X ) yn y(x1 ) y(x2 ) y1 y2 • h步长 Euler方法的几何意义