初等函数的连续性 四则运算的连续性 定理1若函数f(x),g(x)在点x处连续 则f(x)±g(x),f(x)·g(x), f(r) (g(x0)≠0) 在点x处也连续 例如,sinx,c0sx在(-∞,4∞)内连续, 故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续
初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 定理1 . ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) , 0 0 0 在 点 处也连续 则 若函数 在 点 处连续 x g x g x f x f x g x f x g x f x g x x 例如, sin x,cos x在(−,+)内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续
二、反函数与复合函数的连续性 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数 例如,y=sinx在-2,l单调增加且连续, 故y= arcsinx在-1,1上也是单调增加且连续 同理p= arccos在-1,1上单调减少且连续 y= arctan,y= arccot x在-∞,+l上单调且连续 反三角函数在其定义域内皆连续
二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, ] , 2 , 2 sin 在[ 上单调增加且连续 y = x − 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. 同理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续
定理3若limq(x)=u,函数f()在点连续, x→. 则有 lim flo(x)=f(a)=/mox) 证∵∫(n)在点u=a连续, VE>0,彐m>0,使当u-a0,彐δ>0,使当0<x-xn<δ时
定理3 lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. lim ( ) , ( ) , 0 0 0 f x f a f x x a f u a x x x x x x = = = → → → 则 有 若 函 数 在 点 连 续 证 f (u)在点u = a连续, ( ) ( ) . 0, 0, , 恒有 成立 使当 时 − − f u f a u a lim ( ) , 0 x a x x = → 又 0, 0, 0 , 对于 使当 x − x0 时
恒有g(x)-a=u-a0,38>0,使当0x0 x→>x0 意义1在定理的条件下,极限符号可以与函数符 号互换,即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层, 2变量代换u=q(x)的理论依据
恒有(x) − a = u − a 成立. 将上两步合起来: 0, 0, 0 , 使当 x − x0 时 f (u) − f (a) = f[(x)]− f (a) 成立. lim [ ( )] ( ) 0 f x f a x x = → [lim ( )]. 0 x x x → = 意义 1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符 号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直 接取在内层， 2.变量代换(u = (x))的理论依据
注 1定理的条件:内层函数有极限,外层函数 在极限值点处连续 2将x→>x换成x→∞可得类似的定理 例1求mm In(1+x) x→>0 解原式= limIn(1+x) In(lim(1+xl=ne=1 →0
注 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续 2.将x → x0换成x → 可得类似的定理 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + 求 → 解 x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne = 1
例2求lm e x→>0y 解令e-1 x=ln(1+y), 当x→0时,y→0 原式=lim.y y→>0In(1+)i →>0 In(1+y)' a-1 同理可得im x→>0
例2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 解 e 1 y, x 令 − = 则 x = ln(1 + y), 当x → 0时, y → 0. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式 y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → = 1. 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − →
定理4设函数u=q(x)在点x=x连续,且 q(x)=l,而函数y=f()在点u=L连续, 则复合函数y=川q(x)在点x=x也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,=在(-∞,0)(0,+)内连续 y=sinu在(-0,+∞内连续, y=sin在(-∞,0)∪(0,+内连续
定理4 [ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 则复合函数 在 点 也连续 而函数 在 点 连 续 设函数 在 点 连 续 且 y f x x x x u y f u u u u x x x = = = = = = = 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 − + 内连续 x u y = sinu 在(−, + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y
三、初等函数的连续性 ★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的 ★指数函数y=a(a>0,a≠l) 在(-∞,+∞)内单调且连续 ★对数函数y=log,x(a>0,a≠1) 在(0,+∞)内单调且连续;
三、初等函数的连续性 ★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ y = a (a 0, a 1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a 0, a 1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续;
y=a, u=ulog 在(0,+)内连续,讨论不同值, (均在其定义域内连续) 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连 续的 定义区间是指包含在定义域内的区间
★ y = x a x a log = , u y = a u log x. = a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间
注意1.初等函数仅在其定义区间内连续,在 其定义域内不一定连续 例如,y=√c0sx-1,D:x=0,±2兀4兀 这些孤立点的邻域内没有定义 y=√x2(x-1),D:x=0,及x≥1, 在0点的邻域内没有定义 函数在区间[1,+∞)上连续 注意2.初等函数求极限的方法代入法 imf(x)=f(x)(x0∈定义区间)
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, y = cos x − 1, D: x = 0,2,4, 这些孤立点的邻域内没有定义. ( 1) , 2 3 y = x x − D : x = 0, 及x 1, 在0点的邻域内没有定义. 函数在区间[1,+)上连续. 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = 定义区间 → f x f x x x x