第二章函数基本近(一 插值逼近 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
1 上一页 下一页 第二章 函数基本逼近(一) -----插值逼近
当精确函数y=f)非常复杂或未知时 在一系列节点 处测得函数值 yo=fo) 八(xn) 由此构造一个简单易算的近似函数g(x)≈fx), 满足条件 g(x)=f(x;)(i=0,……,n) 这里的g(x)称为(x)的插值函数。 最常用的插值函数是多项式 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
2 上一页 下一页 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时， 在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0 ), …, yn = f(xn )， 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)， 满足条件 g(xi ) = f(xi ) (i = 0, …, n) 这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 多项式 …?
g(x)≈f(x) x copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
3 上一页 下一页 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
§1拉格朗日多项式/ Lagrange Polynomial ⊙ 求n次多项式P(x)=a0+a1x+…+anx"使得 Pn(x1)=y;,i=0, 条件:无重合节点,即≠jx1≠x 称为拉氏基函数 * Lagrange Basis"l,GE 满足条件(x)=n/ Kronecker Delta 可贴r1xAA、x 两点的直线。 →R(x=B少1-(x-xn) xo /+/七 xixo n=∑(x)y lo(x) l1(x) 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
4 上一页 下一页 §1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n 求 n 次多项式 使得 n Pn (x) = a0 + a1 x ++ an x 条件：无重合节点，即 i j xi x j n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1 (x) = a0 + a1 x 使得 1 0 0 1 1 1 P ( x ) = y , P ( x ) = y 可见 P1 (x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1 , y1 ) 两点的直线。 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 x x x x y y P x y - - - = + 0 1 1 x x x x - - 1 0 0 x x x x - - = y0 + y1 l0 (x) l1 (x) = = 1 0 ( ) i i x yi l 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */， 满足条件 l i (xj )=ij /* Kronecker Delta */
n≥1希里找到(),i=0,…,n使得(x);然后令 P2(x)=∑(x),则显然有Pn(x)=y )每 与节点有关,而与∫无关 Lagrange Polynomial Li(i) (x1=x) C-x (x)=∏ -x) I→E(x)=∑l copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
5 上一页 下一页 n 1 希望找到l i (x)，i = 0, …, n 使得 l i (xj )=ij ；然后令 = = n i n i i P x l x y 0 ( ) ( ) ，则显然有Pn (xj ) = yj 。 l i (x) 每个 l i 有 n 个根 x0 … xi … xn = = - - - = - n j j i li x Ci x x x xi x xn Ci x xj 0 ( ) ( 0 )...( )...( ) ( ) - = = j i i j i i i x x l x C ( ) 1 ( ) 1 = - - = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) = = n i n i i L x l x y 0 ( ) ( ) Lagrange Polynomial 与节点 有关，而与 f 无关
定理(唯满是n()=,1,的阶插值多 项式是唯一存在的。 证明:(p25利用 Vandermonde行列式论证) 反证:若不唯一,则除了Ln(x)外还有另一n阶多项 式Pn(x)满足Pn(x)=y 考察Q(x)=P(x)Ln(x),则Qn的阶数≤n 而Q有+个不同的根x…xn 注:若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一 例如P(x)=L2(x)+p(x)(x-x)也是一个插值 0 多项式,其中p(x)可以是任意多项式。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
6 上一页 下一页 定理 (唯一性) 满足 的 n 阶插值多 项式是唯一存在的。 P(xi ) = yi , i = 0, ... , n 证明： ( p 25 利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln (x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn (x) 满足 Pn (xi ) = yi 。 考察 Qn (x) = Pn (x)- Ln (x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 也是一个插值 多项式，其中 可以是任意多项式。 = = + - n i P x Ln x p x x xi 0 ( ) ( ) ( ) ( ) p(x)
>插值余项/ Remainder 设节点a≤x<x1<…<xn≤b,且满足条件f∈C1n,bl, 在n,小内在考察截断误差Rx)=f(-L( Rn(x)至少有+1个根→R(x)=Kx)1(x-x) 注意这里是对t求导3()=Rn(t)-K(x)I(t-x) q有n+2个不同的根x0…xnx φ(x)=0,5x∈(a,b) ft(5x)-L(5、)-(x)n+1)!=Rm(5x)-k(x)(m+1 (n+1) (n+1) K(x) R, (x)= (S TT(x-x, (n+1) (n+1)! copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
7 上一页 下一页 ➢ 插值余项 /* Remainder */ 设节点 (n+1) f 在[a , b]内存在, 考察截断误差 R (x) f (x) L (x) n = - n f C [a,b] n a x x x b 0 1 n ，且 f 满足条件 , Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，则 存在 使得 。 ( x) (x0 ) =(x1 ) = 0 ( , ) x0 x1 ( ) = 0 推广：若 (x0 ) =(x1 ) =(x2 ) = 0 ( , ), ( , ) 0 x0 x1 1 x1 x2 使得 ( 0 ) =( 1 ) = 0 ( , ) 0 1 使得 ( ) = 0 (x0 ) ==(xn ) = 0 存在 (a,b) 使得 ( ) 0 ( ) = n Rn (x) 至少有 n+1个根 = = - n i Rn x K x x xi 0 ( ) ( ) ( ) 任意固定 x xi (i = 0, …, n), 考察 = = - - n i xi t Rn t K x t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (t)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x ( ) 0, ( , ) ( 1) x x a b n = + ( ) ( ) ( 1) ! ( 1) - + + R x K x n n n 注意这里是对 t 求导 - - + = + + ( ) ( ) ( )( 1) ! ( 1) ( 1) f L x K x n n x n n ( 1)! ( ) ( ) ( 1) + = + n f K x x n = + - + = n i i x n n x x n f R x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )
注:⑦通常不能确定5,而是估计/(x)sMm, VxE(a,b) 将x-x|作为误差估计上限 当八(x)为任一个次数n的多项式时,f(+)(x)=0, 可知Rn(x)≡0,即插值多项式对于次数≤n的多项式 是精确的。 Quiz:给定x;=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是2x)的图像? J A B 0 56 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
8 上一页 下一页 注： 通常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。 1 ( 1) ( ) + + n f n x M = + - + n i i n x x n M 0 1 | | ( 1)! 当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。 ( ) 0 ( 1) + f x n Rn (x) 0 Quiz:给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2 (x)的图像？ y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x y 0 - - 1- 0.5 -0.5 1 2 3 4 5 6 x A B C ✓
例:已知sinz=,sinz 2,出_√3 32 分别利用sinx的次、2次 Lagrange插值计算sin50° 并估计误差。 500、5z 18 解:n=1分别利用x,x1以及x,x2计算 中利用x L1(x) =x-x/4 x-z/6 6 丌/6-兀/42·兀/4-丌/6 內插通常优于外推。选择 f2(5)=-sin5x,5∈(, 要计算的x所在的区间的 端点,插值效果较好。 sin50°=0.7660444 外推/ extrapolation+的差≈-0.01010 中利用x1=,x2=→sin50°0 8,0.00538<F(5兀 <0.00660 18 内插/ interpolation*的实际误差≈0.00596 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
9 上一页 下一页 例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。 解： 0 x 1 x x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 - - + - - = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = - x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x - x - f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( - 1 - R sin 50 = 0.7660444… ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 -0.01010 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好
n=2 (x-4)(x-3 (x-5)(x-3 (x-5)(x-4) 3 (一于)(-3)2·(一-)(于一)√2'(一)一犭)2 sin50≈L,(57 )≈0.76543 18 cOS R2(x) <cOSt<v3 3 )(x-x) 2 0.0004<R,S5z 2(1s|<0.00077 sin50°=0.7660444. 2次插值的实际误差≈000061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好, copyright@湘潭大学数学与W算科学学院 上一真下一真
10 上一页 下一页 n = 2 2 3 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) 2 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 3 6 3 4 6 4 4 6 4 3 6 3 6 4 6 3 4 3 2 - - - - + - - - - + - - - - = x x x x x x L x ) 18 5 sin 50 (2 0 L 0.76543 2 3 cos 2 1 ); 3 )( 4 )( 6 ( 3 ! cos ( ) 2 - - - - = x x R x x x x 0.00077 18 5 0.00044 2 R sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好，……