湘潭大学：《数值分析》课程教学资源（试卷习题）二重积分习题

例1计算∫xyda,其中D是由直线y=1、x=2及x=y所围成的闭区域 解法1首先画出积分区域D如图6-26所示.D是X-型区域,D可表示为 ≤y≤x,1≤x≤2 先对y、再对x积分,在对y积分时,把x看成常数,于是有 ∫xd-∫小=xyd 84 解法2如图6-27所示,积分区域是y型的,先对x、再对y积分,在对x积分 时,把y看成常数于是有 dy xydx dy 例2计算j(2x+y2)dd,其中D是由抛物线y2=x及直线y=x-2所围 成的区域 解画出积分区域D,如图6-28所示既是X-型的,也是Y型的,我们先 将它看成是Y-型的,先对x、再对y积分,积分区域为 ((, 2)ly2sxsy+2,-1sys2) ∫(2x+y)=∫小∫(2x+y)=x+yxyd 如果将看成D看成X-型区域,则需要将D分成D和D2两部分,如图6-29所示

例 1 计算 D xyd  ，其中 D 是由直线 y x = = 1 2 、 及 x y = 所围成的闭区域. 解法 1 首先画出积分区域 D ,如图 6-26 所示. D 是 X -型区域， D 可表示为 1  y x ， 1 2.  x 先对 y 、再对 x 积分，在对 y 积分时，把 x 看成常数，于是有 2 2 2 2 2 1 1 1 D y 2 y xyd dy xydx x y dy    = =         2 4 2 2 3 1 1 1 1 11 . 2 2 8 4 8 x x x x dx     = − = − =          解法 2 如图 6-27 所示，积分区域是 Y -型的，先对 x 、再对 y 积分，在对 x 积分 时，把 y 看成常数.于是有 2 2 2 2 2 1 1 1 D y 2 y xyd dy xydx x y dy    = =         2 4 2 3 2 1 1 1 1 2 1 . 2 8 8 y y y dy y     = − = − =          例 2 计算 ( ) 2 2 D x y dxdy +  ，其中 D 是由抛物线 2 y x = 及直线 y x = − 2 所围 成的区域. 解 画出积分区域 D ，如图 6-28 所示.既是 X -型的，也是 Y -型的，我们先 将它看成是 Y -型的，先对 x 、再对 y 积分，积分区域为 ( )  2 D x y y x y y =   + −   , 2, 1 2 . 且 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 y y y y D x y dxdy dy x y dx x y x dy + + − − + = + = +         ( ) ( ) 2 2 2 4 1 y y y y dy 2 2 2 − = + + + −      ( ) 2 3 4 3 5 1 1 1 2 2 2 3 4 3 5 y y y y −   = + + + −     11 17 . 20 = 如果将看成 D 看成 X -型区域，则需要将 D 分成 D1 和 D2 两部分，如图 6-29 所示

其中 D=((3, y)losxs1-xsysvi) (xy≤x4 因此,根据二重积分的性质有 (2x+y2)drdy=[(2x+y2)dxdy +[(2x+y2)dxdy dx( 2x+y)dy+l dx o dy 由此可见,这种积分次序计算比较麻烦 例3计算∫p-xdb,其中D={(x,y)p≤xs10sysl 解被积函数中含有绝对值,需去掉绝对值符号才能积分,一般以绝对值符 号中的表达式为0得曲线将D分成若干个部分区域.如图6-30,y=x2将D分成 D与D2,在D中y-x2≥0,在D2中y-x2≤0.因此,分区域积分可去掉绝对值 符号,即得 ∫(y-x)a+j(x2-y) a(y-=x)+(x-y) xdx 例4计算∫4” 解此题先对y积分,由于9y的原函数不是初等函数,因此不能直接求 解这时,可考虑交换积分次序,如图6-31所示,由积分区域 x, y≤x,0≤x≤1 或 D={(xy)y2≤xsy0sysl} 有 y (y-y2)

其中 D x y x x y x 1 =   −   ( , 0 1, , )  D x y x x y x 2 =   −   ( , 1 4, 2 . )  因此，根据二重积分的性质有 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y dxdy x y dxdy x y dxdy + = + + +    ( ) ( ) 1 4 2 2 0 1 2 2 2 . x x x x dx x y dy dx x y dy − − = + + +     由此可见，这种积分次序计算比较麻烦. 例 3 计算 2 D y x dxdy −  ，其中 D x y x y =     ( , 0 1,0 1 . )  解 被积函数中含有绝对值，需去掉绝对值符号才能积分，一般以绝对值符 号中的表达式为 0 得曲线将 D 分成若干个部分区域. 如图 6-30， 2 y x = 将 D 分成 D1 与 D2 ，在 D1 中 2 y x −  0 ，在 D2 中 2 y x −  0. 因此，分区域积分可去掉绝对值 符号，即得 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 D D D y x dxdy y x dxdy x y dxdy − = − + −    ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 0 0 0 x x = − + − dx y x dy dx x y dy     2 2 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 x x y x y dx x y y dx     = − + −           1 1 2 4 4 0 0 1 1 1 11 . 2 2 2 30 x x dx x dx   = − + + =       例 4 计算 1 0 sin . x x y dx dy y   解 此题先对 y 积分，由于 sin y y 的原函数不是初等函数，因此不能直接求 解.这时，可考虑交换积分次序，如图 6-31 所示，由积分区域 D x y x y x x =     ( , ,0 1 )  或 ( )  2 D x y y x y y =     , ,0 1 , 有 2 ( ) 1 1 1 2 0 0 0 x y sin sin sin x y y y y dx dy dy dx y y dy y y y = = −     

S(-y)sin ydy 例5应用二重积分,求在xOy平面上由y=x2与y=4x-x2所围成的平面 图形的面积 解由二重积分的性质,的d值就是积分区域D的面积a的值由图 6-32可得 4x-2xdx 2 例6将』(xy)d化成极坐标系下的二次积分,其中 且 解6-32所示,令x= rcos e,y=rsin,则D的边界曲线的极坐标方程为 0. r=sin e 则D用极坐标表示为 ≤日≤,2acos6≤r≤4cosb, 所以 (x, y)drdy=f(rose, rsin O)rdrde i 2acose(cosa, sine)rdr 例7计算二重积分∫yF2+yaob,其中D是圆x2+y2=2y围成的区域 解如图6-38所示,令x=rcos,y=rsin0,则圆的方程为r=2sin,D可 以用不等式表示为 所以 r.r

( ) 1 0 = − = − 1 sin 1 sin1. y ydy  例 5 应用二重积分，求在 xOy 平面上由 2 y x = 与 2 y x x = − 4 所围成的平面 图形的面积. 解 由二重积分的性质，的 D dxdy  值就是积分区域 D 的面积  的值.由图 6-32 可得 2 2 2 4 0 x x x D  dxdy dx dy − = =    ( ) 2 2 0 = − 4 2 x x dx  2 2 3 0 2 8 2 . 3 3 x x   = − =     例6 将 ( , ) D f x y dxdy  化成极坐标系下的二次积分，其中 ( ) ( ) ( )  2 2 2 2 2 D x y x y x a y a a = − +  − +    , 2 4 ,0 2 且 解 6-32 所示，令 x r y r = = cos , sin ,   则 D 的边界曲线的极坐标方程为 1 r a = 2 cos ,  2 r = 4sin ,  则 D 用极坐标表示为 , 2 2   −    2 cos 4cos , a r     所以 ( , cos , sin ) ( ) D D f x y dxdy f r r rdrd =      ( ) 4cos 2 2 cos 2 cos , sin . a d f r r rdr        − =   例 7 计算二重积分 2 2 D x y dxdy +  ，其中 D 是圆 2 2 x y y + = 2 围成的区域. 解 如图 6-38 所示，令 x r y r = = cos , sin ,   则圆的方程为 r = 2sin ，D 可 以用不等式表示为 0 2sin ,0 ,     r    所以 2 2 D D x y dxdy r rdrd + =    

2sin e de d sin 0de 1-cos20)d cos0 例8计算二重积分e,其中D为圆形区域x2+y2≤R 解在极坐标系中,闭区域D可表示为 0≤r≤R,0≤0≤2丌 则 dhy e arab= e ro 2丌:-1-e 利用上面结果,我们可以计算广义积分。e-d.设 D={(x,y)x2+y2≤R2,x20,y≥ xy)|2+y2≤R2,x≥0y≥0 D={(xy)0≤xsR0≥y≥R 显然DcD2cD3(见图6-39)由于e 从而在这些闭区域上的二重积 分之间有不等式 evx2-y dxdy <lle dxdy <lle-ydxdy 因为 e e e

2sin 3 2sin 2 0 0 0 0 3 r d r dr d         = =        ( ) 3 2 0 0 8 8 sin 1 cos cos 3 3 d d   = = − −       3 0 8 1 cos cos 3 3      = − −     8 4 32 . 3 3 9   = −  − =     例 8 计算二重积分 ( ) 2 2 x y D e dxdy − +  ，其中 D 为圆形区域 2 2 2 x y R +  . 解 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 0 ,  r R 0 2 ,     则 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 2 R x y R r r r D D e dxdy e rdrd d e rdr e d      − + − − −   = = = −         ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 . 2 R R   e e − − =  − = − 利用上面结果，我们可以计算广义积分 2 0 . x e dx + −  设 ( )  2 2 2 1 D x y x y R x y = +    , , 0, 0 , ( )  2 2 2 2 D x y x y R x y = +    , , 0, 0 , D x y x R y R 3 =     ( , 0 ,0 . )  显然 D D D 1 2 3   （见图 6-39）.由于 2 2 0, x y e − −  从而在这些闭区域上的二重积 分之间有不等式 2 2 2 2 2 2 1 3 2 . x y x y x y D D D e dxdy e dxdy e dxdy − − − − − −      因为 ( ) 2 2 2 2 2 3 2 0 0 0 . R R R x y x y x D e dxdy e dx e dy e dx − − − − − = =    

又应用上面己得的结果有 dh=(1 r- y dadu_TI 于是上面的不等式可写成 令R→+∞,上式两端趋于同一极限,从而

又应用上面已得的结果有 ( ) 2 2 2 1 1 , 4 x y R D e dxdy e − − −  = −  ( ) 2 2 2 2 2 1 , 4 x y R D e dxdy e − − −  = −  于是上面的不等式可写成 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 1 1 . 4 4 R R x R e e dx e   − − − −   −  令 R → + ，上式两端趋于同一极限 4  ，从而 2 0 . 2 x e dx + −  = 