第八节 第十二章 常系数齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第十二章
阶常系数齐次线性微分方程: y"+py+qy=0(p,q为常数)① 因为r为常数时,函数e和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为y=e(r为待定常数)代入①得 (r+pr+ge=0 +p+q=0 (2 称②为微分方程①的特征方程,其根称为特征根 1.当p2-4q>0时,②有两个相异实根n,n2,则微分 方程有两个线性无关的特解: x e 因此方程的通解为 Ciel+ce HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2当p2-4q=0时特征方程有两个相等实根n ,则微分方程有一个特解y=e1x 设另一特解y2=yl(x)=en(x)((x)待定) 代入方程得: e[(1”+22+n12n)+p(l2+1)+gn]=0 l2+(2h+Pn+(2 +P1+q)=0 注意n是特征方程的重根 L=0 取u=x,则得y2=xex,因此原方程的通解为 I+Cxe x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u + r1u + qu = 0 2 u + r1u + r1 u 是特征方程的重根 u = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u + r1 + p u + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3当p2-4q<0时,特征方程有一对共轭复根 n=a+iB, n=a-iB 这时原方程有两个复数解 hi =e(atip)x=ex(cos Bx+isin Bx) B)x=eax(cos Bx-isin B x) 利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解: y=2(+y2 ax e COS x 22=2(-y2)=e sin Bx 因此原方程的通解为 y=e (C1 cos Bx+ C2 sin B x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 当 4 0 2 p − q 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 + = e (cos x i sin x ) x = + i x y e ( ) 2 − = e (cos x i sin x ) x = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x = cos e x x = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小结 y"+py′+qy=0(p,q为常数) 特征方程r2+p+q=0,特征根:, 特征根 通 解 n≠乃实根y=Cenx+C2e =乃=y=(C1+C2x)2nx n2=a±iBy=e“(Ci1cos6x+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
小结: y + p y + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
推广: )+ay(n)+…+an1y+any=0(ak均为常数) 特征方程rn+a1rn-1+…+an1+an=0 若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项 (C1+C2x+…+Ckx k-1、rx 若特征方程含k重复根r=a±iB,则其通解中必含 对应项 k [(C1+ C2x+.+Ckx)cos Bx+ +(D1+D2x+ .+ Dk x' )sin Bx] (以上C,D均为任意常数) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 0 ( ) 1 ( 1) 1 y (n) + a y n− ++ an− y + an y = ak 均为常数 特征方程: 1 0 1 + 1 + + − + = − n n n n r a r a r a 推广: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程y"-2y-3y=0的通解 因此原方程的通解为y=(e+Ce31,n2=3, 解:特征方程r2-2r-3=0,特征根:n d ds 例2求解初值问题{dt2dr+s=0 ds 4 t=0 解:特征方程r2+2r+1=0有重根n=n2=-1, 因此原方程的通解为s=(C1+C2t)e 利用初始条件得C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)e′ 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求方程 y − 2 y −3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1, 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t=0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1, r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 C2 = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动,取其平衡位置为原点建 立坐标系如图,设t=0时物体的位置为x=x0,初始 速度为v,求物体的运动规律x=x() 解:由第七节例1(P293)知,位移满足 自由振动方程,因此定解问题为 O d +2n+k2x=0 [ix d t d t dx t=0=0 d t O=VO HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. x x o 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 0 0 d d v t x x t =0 = x0 , t = = + 2 2 d d t x 0 2 + k x = t x n d d 2 自由振动方程 , 因此定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)无阻尼自由振动情况(n=0) 方程: d-x + x 0 d 特征方程r2+k2=0,特征根h2=±ik 方程通解:x=C1 cos k t+C2 sink t 利用初始条件得(1=x0,C2=v k 故所求特解: k x=xo cos kt+U sin kt k Asin(kt+o) A tan=0) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
方程: +2 2 d d t x 0 2 k x = 特征方程: 0, 2 2 r + k = r = i k 特征根 1, 2 : x C cos k t C sin k t = 1 + 2 利用初始条件得: , 1 0 C = x 故所求特解: k t k v x x cos k t sin 0 = 0 + A 0 x k v0 方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) k v C 0 2 = ( ) 0 0 2 2 2 0 0 , tan v kx k v A = x + = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
解的特征: x=Asin(kt+φ)简谐振动 A:振幅φ:初相,周期:T=2z k k 固有频率(仅由系统特性确定) 下图中假设x=0=x>0a71=0=10>0) X O HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解的特征: 简谐振动 A: 振幅, : 初相, 周期: 固有频率 0) d d =0 = v0 t x t ( 0, 下图中假设 x t =0 = x0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)
