数学期望的定义 数学期望的性质 随机变量函数 的期望
数学期望的定义 数学期望的性质 随机变量函数 的期望
E(X-EX DX DX =EX2-(EX)2
σ2 DX 六 2 E(X − EX ) 六、 DX 2 2 DX = EX − (EX ) σ
四还随机变量x的离差,反映随机 变量X的一切可能值在其数 学期望周围的分散程度。 E(X-EX)=0离差的均值为零。 定义;称(x-EB为随机变量x的方差,记为Dx, 或var(X) 离散:Dx)=∑(x-EX)p其中,P=P(X=x) 连续:D(X)=「(x-Ex)0) 其中,g(x)是X的密度函数 P注意:方差D)>0
随机变量 X 的离差，反映随机 变量 X 的一切可能值在其数 学期望周围的分散程度。 E(X − EX) = 0 离差的均值为零。 定义：称 E X EX ( ) − 2 为随机变量 X 的方差，记为 D( ) X ， 或var(X ) ( ) 或var(X )。 离散： i i D X xi EX p2 ( ) = ∑( − ) ( ) i i 其中，p = P X = x 连续： i D(X ) (x EX ) (x)dx 2ϕ ∫ +∞−∞ = − 注意：方差 D(X) > 0 其中， ϕ (x)是X的密度函数 注意：方差 D(X) > 0
说明:当随机变量的可能值密集在数学期望的附近 时,方差较小;反之,方差较大。 重要公式:DX=Ex2-(E 证明:DX=E(X-EX)2 E(X-2XEX +(EX)) =EX2-2EX·EX+(EX) =EX-(EX)
说明：当随机变量的可能值密集在数学期望的附近 时 ，方差较小 ；反之 ，方差较大 。 重要公式： DX EX EX = − 2 2 ( ) 证明 DX E ( X EX ) 2 证明 ： DX = E ( X − EX ) 2 ( 2 ( ) ) 2 2 = E X − X ⋅ EX + EX 2 2 = EX − 2EX ⋅ EX + (EX ) 2 2 = EX − ( EX )
例1某人进行打靶,所得分数X的分布律为 x012 P|00.20.8 试求D1 解:EX1=0×0+1×02+2×08=18 EX=02×0+12×02+2×08=34 DX1=E2-(Ex)2=34-182=34-324=016
例 1.某人进行打靶，所得分数 X1的分布律为 X1 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 试求DX1。 解： EX1 = 0 0 1 02 2 08 18 × + × . .. + × = EX122 2 2 = 0 0 1 02 2 08 34 × + × . .. + × = DX EX EX 1 12 1 2 = − ( ) = 34 18 34 324 016 − = − = 2 .. ..
例2:已知随机变量X的概率密度密度为: P(x)=b-a'usxsbph 称之服从均匀分布 其它 求随机变量X的方差 解:EX b-a"3(b-a) +abtb a+b EX 3(b-a) a2+ab+b2 a+6 所以,Dx=Ex2-(EX) af-2ab+b(a b)2
例 2：已知随机变量 X 的概率密度密度为: ϕ ( ) , x b a axb = − < < ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ 1 ϕ ( ) 称之服从均匀分布 , ⎩ ⎪ 0 其它 , 求 随 机 变 量 X 的 方 差. 服从均匀分布 解： EX 2 = ⋅ − ∫a b x b a dx 2 1 = − 1 3 3 ( b a ) x a b 求 随 机 变 量 的 方 差. b a 3 ( b a ) = − − b a b a 3 3 3 ( ) , 3 2 2 a + ab + b = 2 a b EX + = 3 ( b − a ) 3 所以 DX = EX EX 2 2 ( ) = + + − ⎛ + ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a ab b a b 2 2 2 2 所以 ， DX = EX − (EX ) = ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ 3 2 a ab b a b −+ − 22 2 2 () = = 12 12
例3:设随机变量X的概率密度为 1+x-1<x<0 f(x) x0<x<1 1)求D(X) 解0E(X)=+x-xt=0 E(X2)=(x2(1+)dk+|x(1-rt、 ∴D(X)=
例3：设随机变量X的概率密度为 ⎨⎧1+ − 1 < < 0 ( ) x x f x ⎩⎨ − ≤ < = 1 0 1 ( ) x x f x 1)求D（X） (1) ( ) (1 ) (1 ) 0 0 1 ∫ ∫ 解 (1)E(X) (1 )d (1 )d 0 1 0 = + + − = ∫ ∫ − 解： E X x x dx x x dx 1 0 1 6 ( ) (1 ) (1 ) 1 0 2 0 1 2 2 = + + − = ∫ ∫ − E X x x dx x x dx 6 1 ∴ D(X) = 6
、,标准差(均方差):√D,其量纲与X相同。 定义 方差的性质 性质1.D(c)=0 性质2.D(aX+B)=a2DX 性质3.E(X-C)2≥DX 等号当且仅当C=EX时成立 意各参数的意义 性质4.标准化随机变量:、x-EX Dx,则 EY=0,DY=1
定义：标准差（均方差）： DX ，其量纲与 X 相同。 方差的性质 性质 1. D c( ) = 0 性 2 注意 各 质 2. D aX B a DX 2 ( + ) = 性 质 E X C ≥ DX 2 ( ) 各 参 数 性 质 3. E X − C ≥ DX 2 ( ) 等号当且仅当 C = EX 时成立. 数 的 意 性质 4. 标准化随机变量： Y X EX DX = − ，则 意 义 DX EY = 0 ， DY = 1
性质5 切贝雪夫不等式设随机变量(n)5的E及D存在, 则对于任何6>0,有 D5 P(5-E|2E) E P(-E<21-2(对立事件) 或P( DS 证明:1)设是离散型rm,事件一E6表示r5 取得一切满足x-E引≥的可能值x,则 (-E26)=∑p(x x-E≥E 由E≥E→(-E)282→ (2-E) E
切贝雪夫不等式设随机变量（rv）ξ 的Eξ 及Dξ存在 性质5 切贝雪夫不等式设随机变量（r.v.）ξ 的Eξ 及Dξ存在， 则对于任何ε >0，有 P E D ( ) ξ ξε ξ ε − ≥≤ 2 ， 或 P E D ( ) ξ ξε ξε − < ≥−1 2 （对立事件） 证明： 1)设ξ 是离散型rv. .，事件ξ ξε − ≥ E 表示rv. .ξ 取得一切满足 x − Eξ ≥ ε 的可能值x 取得 切满足 xi Eξ ≥ ε 的可能值xi ，则 P E pxi E ( ) () | | ξ ξε ξ − ≥= ≥ ∑ |xi −Eξ|≥ε 由ξ ξε ξ ξ ε ξ ξε − ≥⇒ − ≥ ⇒ − E E ≥ E ( ) ( ) 2 2 2 2 1 ε
得P(-E26)5∑ (x1=E5) p(x x ≥ ∑(x1=B2)2p(x) E ∑(x1-E5)2p(x E D 5 2设5是连续型r,事件-E4≥表示落 在区间(E-,E5+E)之外,则 P(-E428)=9 x-ES2E (x)是概率密度)
得 P E x E p x i i E ( ) ( ) ( ) | | ξ ξε ξ ξ ε − ≥≤ − ≥ ∑ 2 2 | x i − E ξ |≥ ε ε = − ≥ ∑ 1 2 2 ε ξ ξ ε ( ) () | | x E px i i ε | x − E ξ |≥ ε i ≤ − ∑ 1 2 2 ε ( ) () x E px i i ξ i = D ξ ε 2 2) 设 ξ 是连续型 r. .v，事件 ξ − ≥ E ξ ε 表示 r. .v ξ 落 在区间 (,) E E ξεξε − + 之外，则 P E x dx x E ( ) () | | ξ ξε ϕ ξ ε − ≥= − ≥ ∫ （ ϕ( )x 是 ξ 概率密度 ）