连续型随机变量 的概率密度 非负性 F(x)…fx) 规范性 Pa<x<b
连续型随机变量 的概率密度 F( ) f( ) 规范性 F(x)…f(x) 非负性 P{a<X<b}
五、数学期 20093-16
五、 数学期望 2009-3-16
1离散随机变量的数学期里 定义:设离散型随机变量X的分布律为 x1x,…x,… 若级数∑xP绝对收敛,则称级数∑xP的和 为随机变量x的数学期望记为E(或EX 即E(X)=2x1P。 20093-16
1.离散随机变量的数学期望 定义 ：设离散型随机变量 X 的分布律为 X x1 x 2 … x i … p p p p k 1 p 2 … pi … 若级数 x p ∞ ∑ 绝对收敛 则称级数 x p ∞ 若级数 xi p ∑ 的和 i i = ∑1 绝对收敛 ，则称级数 x pi i i = ∑1 的和 为随机变 量 X 的数学期望，记为 E ( X ) 或 EX 。 即 E ( X ) = xi pi ∞ 即 E ( X ) = ∑ xi p i i = ∑1 。 2009-3-16
例1甲、乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1、 X2它们的分布律分别为 X 12 X,012 00.208060301 试评定他们的成绩的好坏。 解:EX1=0×0+1×0.2+2×0.8=18 EXx2=0×06+1×03+2×0=05 乙的成绩远不如甲的成绩 甲 @回 20093-16
例 1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X1 、 X2 它们的分布律分别为 X1 0 1 2 X 2 012 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩的好坏。 解：EX1 = 0×0 +1×0.2 + 2×0.8 =1.8 EX2 = 0×0.6 +1×0.3+ 2×0.1 = 0.5 即乙的成绩远不如甲的成绩。 甲 乙 2009-3-16
注意:随机变量的数学期望与实际进行的试 验中所得随机变量的观测值的算术平 均值(称为样本平均值)有密切的关 系。 设进行次独立试验,得到随机变量x的 统计分布如下 xxix 总计 频数mm…mn 频率」0(x)x)·) 20093-16
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试 验中所得随机变量的观测值的算术平 均值 （称为样本平均值 ）有密切的关 系。 设进行 n 次独立试验 ，得到随机变量 X 的 统计分布如下： X x1 x2 L xl 总计 频数 m1 m2 L ml n 频率 ω( ) x1 ω( ) x2 L ω( ) xl 1 2009-3-16
计算随机变量X的样本平均值: x1m1+x2m2+…+x1m1 X. m H=1 或者,=x“+x+xm n =x0()+x0(2++0)=x(x) 与期望E(X)=x比较 式中,只是用频率O(x)代替了概率 已知,当试验次数很大时,事件X=x的频率m(x)在 对应的概率附近摆动,所以,当试验次数很大时, 随机变量Ⅹ的样本平均值x将在随机变量X的数学期 望E(X)附近摆动。 2009-3-16
计算随机变量 X 的样本平均值： x m + x m + + x m l 1 x x m x m x m n l l = 11 2 2 + +L + ∑ = = l i i m i x n 1 1 m m m 或者， x x n x mn x mn i l = + ++ 1 1 2 2 L l 与期望 E(X ) x p ∞ ∑ 比较 = + ++ xx x x xx 11 2 2 ωω ωl l () () () L = = ∑x x i i i 1 ω( ) 与期望 E(X )= x pi i i = ∑ 1 比较 上式中，只是用频率ω(x )代替了概率 p i 代替了概率 pi 已知，当试验次数很大时，事件 X x = i 的频率ω( ) xi 在 对应的概率 pi 附近摆动，所以，当试验次数很大时， 随机变量 X 的样本平均值 x 将在随机变量 X 的数学期 2009-3-16 望 E( ) X 附近摆动
例2按规定,某车站每天8:009:009:00-10:00都恰有 辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到 站的时间相互独立。其规律为 多到站时810830850 9:109:309:50 概率163626 (1)一旅客8:00到车站,求他候车时间的数学期望 (2)旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望 20093-16
例 2.按规定，某车站每天 8 00 9 00 9 00 10 00 8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有 一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到 站的时间相互独立。其规律为 到站时间 8:10 9 10 8:30 9 30 8:50 9:10 9:30 9 50 : 概率 1/6 3/6 2/6 (1)一旅客 8:00 到车站，求他候车时间的数学期望 求他候车时间的数学期望. (2)一旅客 8:20 到车站，求他候车时间的数学期望. 2009-3-16
解:设旅客的候车时间为X分钟, (①)x的分布律为 X103050 pk16362/6 候车时间的数学期望为223(分钟) B(CX)=10 -+30×2+50 6 (2)x的分布律为 X1030 50 90 D132 6×66×66×66 E(X=10×+30×%+50×2g+70×2+90×26 2=22(9分钟
解：设旅客的候车时间为 X 分钟， ( ) 1 ) X 的分布律为 X 10 30 50 p k 1/6 3/6 2/6 候车时间的数学期望为 1 3 2 E X() . = ×+ ×+ × = 10 1 6 30 3 6 50 2 6 3333（分钟） (2) X 的分布律为 X 10 30 50 70 90 p k 3 2 1 1 3 1 2 1 6 2 6 1 6 1 6 × 3 6 1 6 × 2 6 1 6 × 3 2 1 3 2 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 E ( X ) =10 × + × + × + × + × = 27.22 （分钟 ）
2连续随机变量的数学期望 定义:设连续型随机变量X的概率密度为(x),若 积分」0)绝对收敛(即」x9(x 在),则称积分0的值为随机变量x 的数学期望。记为E(X)或EX。即 E(X)=x0(x)dx。 数学期望简称为期望,又称为均值。 几何意义 期望是分布密度曲线与X轴之间的平面 图形的重心的横坐标
2.连续随机变量的数学期望 定义：设连续型随机变量 设连续型随机变量 X 的概率密度为ϕ(x) ，若 积分 xϕ(x)dx ∞ ∫ 绝对收敛（即 |x|ϕ(x)dx ∞ 积分 ∫−∞ ϕ( ) 绝对收敛（即 ∫−∞ | |ϕ( ) 存 在），则称积分 x x dx ϕ( ) −∞ ∞ ∫ 的值为随机变量 X 的数学期望。记为 E X( )或 EX 。即 E(X ) = xϕ (x)dx ∞ ∫ 数学期望简称为期望，又称为均值。 E(X ) = xϕ (x)dx − ∞ ∫ 。 期望是分布密度曲线与 X 轴之间的平面 几何意义： 图形的重心的横坐标
例3.已知随机变量X的概率度函数为 <X< 0(x)=1b-a b 甘宀 求期望EX 解EX儿xba2b-a) 6-aa+b 2(b-a)2 称X服从均匀分布,记作X~U(a,b, EY =+ b 2
例 3.已知随机变量 X 的概率密度函数为: ϕ( ) , x b a axb = − < < ⎧⎨⎪ 1 ϕ( ) , x ⎨b a ⎩⎪ 0 其它 , 求期望 EX 解 EX = ⋅ ∫b x b dx 1 = 1 2 2 (b ) x b 求期望 EX. 解 EX − ∫a x b a dx 2(b − a) a = b a −2 2 = a b + = 2( ) b a − = 2 称 X 服从均匀分布 记作 X ~ U ( a b ) . ~ ( , ), a b EX X X U a b + = 称 服从均匀分布，记作 2