应用案例
应用案例
例1设电力公司每月可以供应某工厂的电力5(单位 10k)服从(1030上的均匀分布,而该工厂每月实际需 要的电力服从(10,20)(单位10k)上的均匀分布,与 7相互独立,如果工厂能从电力公司得到足够的电力,则 每104k电可以创造30万元利润,若工厂从电力公司得不 到足够的电力,则不足部分由工厂通过其他途径解决,由 其他途径得到的电力每104kh电只有10万元利润,试求该 工厂每个月的平均利润
例 1 设电力公司每月可以供应某工厂的电力ξ （单位 4 10 kw）服从 )30,10( 上的均匀分布，而该工厂每月实际需 要的电力η 服从 )20,10( （单位 4 10 kw）上的均匀分布，ξ 与 η 相互独立，如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则 每 kw 4 10 电可以创造 30 万元利润，若工厂从电力公司得不 到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由 其他途径得到的电力每 kw 4 10 电只有 10 万元利润，试求该 工厂每个月的平均利润
2一电力公司每月供应的电量,~U(10,30 7—工厂每月需要的电量,~U(10,20) 2,独立 供电足够30万 单位 利润 供电不足 10万 单位 求:平均利润?
ξ ⎯电力公司每月供应的电量，ξ ~ (10, 30) U η⎯工厂每月需要的电量, η ~ (10, 20) U ξ ,η独立 利润 30万单位 供电足够 供电不足 10万单位 求：平均利润？
解:设工厂每月利润为(万元), 307 1305+107-5)当n>5 (方法一) 随机变量函数期望公式: ES=Ef(,n)=f(x, y)Pen(x, y)dxdy 30 y.--dxdy 20x+10y)·dxy 200 200
解：设工厂每月利润为 ζ （万元），则 ξη ξη ξηξ η ηξζ > ≤ ⎩ ⎨ ⎧ −+ == 当 当 , )(1030 30 f ),( （方法一）： 随机变量函数期望公式： EfE ),( ),(),( dxdyyxpyxf ∫ ∫ +∞∞− +∞∞− = ηξζ = ξη dxdyy yx dxdy D D 200 1 )1020( 200 1 30 1 2 ⋅= ⋅++ ∫∫ ∫∫ D1 O 10 10 20 20 30 D2
化为二次积分后有 Es ydy dx+il xdx dy x 20 2010(30h+1rm x(20-x)dx+ (y-10)a 1010 20J0 205030y3)0+1010202×)+20(y2-10y) y 151)10=43(万元)
化为二次积分后有 Eζ = ∫∫∫∫∫∫ + + y y x dxydy dyxdx dxydy 10 20 10 20 20 10 20 30 10 20 1 10 1 20 3 = ∫ ∫ ∫ +− +− − 20 10 20 10 20 10 )10( 20 1 )20( 10 1 )30( 20 3 dyyy dxxx dyyy = ∫ ∫ ∫ +− +− − 20 10 2 20 10 2 20 10 2 )10( 20 1 )20( 10 1 )30( 20 3 dyyy dxxx dyyy = 33.433|) 15 1 3( 2010 2 3 − yy = （万元）
(解法二)先导出有名的“重期望公式”: 定理设(2,m)为二维随机变量,E5存在,则 Es=E(E(n 其中的E(2|n)为条件期望。 证:仅对连续型场合进行证明。 设(5,7)联合密度为Pn(x,y), 则P2(x,y)=P (x|y)·p2(y) + 记8(y)=E(5n=y)=」xPm(xy), 则g()=E(5|n)
（解法二）先导出有名的“重期望公式”： 定理 设 ηξ ),( 为二维随机变量， Eξ 存在，则 = EEE ηξξ ))|(( 其中的 E ηξ )|( 为条件期望。 证：仅对连续型场合进行证明。 设 ηξ ),( 联合密度为 yxp ),( ξη ， 则 yxp ),( ξη )()|( | = ηξ ⋅ η ypyxp ， 记 )|()( )|( dxyxpxyEyg ∫ | ∞+∞− ηξ ⋅=== ηξ ， 则 = Eg ηξη )|()(
从而 + E o0d-0 x P(x, y)dxdy=Lxp(x y)P,(y)drdy 广xp(x1y(yb=上El7=y)p(o glp,dy=e(g)=e(esin 这就是重期望公式。 解法二:先把ξ取定为x,考虑E(|5=x) 当10≤x<20时, E(5|5=x)=30 71 20 +(10y+20x)pn(y|x)d
从而 ),( dxdyyxpxE )()|( dxdyypyxpx | η ξη ηξ ξ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞∞− +∞∞− +∞∞− +∞∞− ⋅= ⋅= ∫ ∫ ∫+∞∞− +∞∞− +∞∞− ⋅= = = )()|()(})|({ dyypyEdyypdxyxpx | η η ηξ ηξ ηξη )).|(())(()()( = η == EEgEdyypyg ∫+∞∞− 这就是重期望公式。 解法二：先把ξ 取定为 x ，考虑 ξζ = xE )|( 。 当 ≤ x < 2010 时， ξζ = xE )|( | )|(30 10 xypy x ξη ⋅= ∫ dy dyxypxy x )|()2010( | 20 ξη ⋅++ ∫
注意到5与7的独立性,故pn(yx)=pn(y),从而 E(5|2=x) 30y·Pn(y (y)+(10y+20x)Pn(y) 20 30y小+(10y+20x)…小 0+40x 当20≤x≤30时,类似有 20 E(|5=x) 30y·Pn(y)dy 30y=450 然后对5再作一次平均,这样 E=E(E(5=x)=JE(51=x)2(x)+DE(5=x)p:(x 20 30 (50+40x-x2)ax+ 20 2020 450x=4333(万元)
当 20 x ≤≤ 30 时，类似有 ξζ = xE )|( 450 101 )(30 30 20 10 20 10 ⋅= =⋅= ∫ ∫ dyypy dyy η 注意到 ξ 与η 的独立性，故 )()|( |ξη = η ypxyp ，从而 ξζ = xE )|( dyypy x )(30 10 η ⋅= ∫ dyypxy x )()2010( 20 η ⋅++ ∫ dyy x 10 1 30 10 ⋅= ∫ dyxy x 101 )2010( 20 ⋅++ ∫ 2 4050 −+= xx 然后对ξ 再作一次平均，这样 )()|()()|())|(( dxxpxEdxxpxExEEE 20 20 20 10 = ξζζ == ∫ ξζ = ξ + ∫ ξζ = ξ 450 33.433 20 1 )4050( 201 30 20 20 10 2 = +−+ = ∫ ∫ dxxx dx （万元）
例2(效用函数与证券组合投资策略)设有一大笔资金, 总量为1,今将其中的x投资于甲证券,其余的1-x△y投 资于乙证券,于是(x,y)构成了一种组合投资,又设证券 (甲,乙)的收益率构成随机向量(,m)服从正态分布 N(122 试求最佳投资策略
例 2（效用函数与证券组合投资策略）设有一大笔资金， 总量为 1，今将其中的 x 投资于甲证券，其余的1 Δ− yx 投 资于乙证券，于是 yx ),( 构成了一种组合投资，又设证券 （甲，乙）的收益率构成随机向量 ηξ ),( 服从正态分布 ),,,,( 2 2 2 N 121 ρσσμμ ，试求最佳投资策略
x甲证券,收益为5 1-x乙证券,收益为n (,m)~N( ,P) 求最佳投资策略
1− x 1 x 乙证券，收益为η 甲证券，收益为 ξ 2 2 121 2 （ ，ξ η μμσ σ ρ ）～N(, , , ,) 求最佳投资策略