多维随机变量 高散型 连续型 分布函数 规范性 规范性 规范性 矩形概享 P{(X,Y)∈G}
多维随机变量 离散型 分布函数 连续型 规范性 矩形概率 规范性 规范性 P{(X,Y) ∈G}
、边际分布、条件分布 及统计独立性
二、边际分布、条件分布 及统计独立性
二维随机变量的边际分布 假设二维离散随机变量(5,m)的概率分布为: P(5=x1,=y)=P 考虑 PG5=x)=P(=x,=}=∑P=x,=y) 记作.=∑Pi=12…构成5的一个概率分布 称为边际分布列;同样,记 P=P=y)=∑P5=x,m=y)=∑,j=1,2 春春春 i=1 也构成η的边际分布列。显然 ∑P.=∑p,=∑∑n=1
二维随机变量的边际分布 假设二维离散随机变量 (ξ ,η ) 的概率分布为： P (ξ = xi ,η = y j ) = pij , i, j = 1,2," ， 考虑 记作 构成ξ 的一个概率分布 ξ ξ η ξ η " ∪ 1 , 2 , ( ) { ( , } ( , ) 1 1 = = = = = = = = = ∑ ∑ ∞ = • ∞ = ∞ = p p i P x P x y P x y j i ij j i j j i i j 称为边际分布列；同样，记 ( ) ( , ) , 1 , 2 , " 1 1 = = = ∑ = = = ∑ = ∞ = ∞ = • P P y P x y p j i ij i j η j ξ i η j 也构成 η 的边际分布列。显然 1 1 1 1 1 ∑ = ∑ = ∑∑ = ∞ = ∞ = ∞ = • ∞ = • i j ij j j i pi p p
例1.已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2 件三等品。从这批产品中任取4件产品,求其中 等品、二等品件数各自的分布律 解:设X及Y分别是取出的4件产品中一等品及二等 品的件数,则我们有 CCC P(X=i, Y=j) i=0,1,23;j=0,1,2,34;,4-i-j=0,1,2 i=0,1,2,3;,j=0,1,2,34;i+j=2,34
例 1.已知 10 件产品中有 3 件一等品，5 件二等品，2 件三等品。从这批产品中任取 4 件产品，求其中 一等品、二等品件数各自的分布律。 解：设 X 及Y 分别是取出的 4 件产品中一等品及二等 品的件数，则我们有 P X i Y j C C C C i j i j ( , = = ) = − − 3 5 2 4 10 4 ， i j = = 012 , , ,3; 012 , , ,3,4; 4 − i − j = 012 , , 即 i j = = 012 , , ,3; 012 , , ,3,4; i + j = 2,3,4
4 0003 10 20 35 0210210210210 156030 105 210210210 210 3030 63 22102102100 0005 210 7 2102100 210 55010050 210210210210210
即 Y X 0 1 2 3 4 pi• 0 0 0 10 210 20 210 5 210 35 210 1 0 15 210 60 210 30 210 0 105 210 2 3 210 30 210 30 210 0 0 63 210 3 2 210 5 210 0 0 0 7 210 p• j 5 210 50 210 100 210 50 210 5 210 1
等品件数X的分布律为 X0123 P 3510563 210210210210 二等品件数Y的分布律为: y01234 550100505 210210210210210 注:边际分布不能全面反映联合分布的内 含信息
一等品件数 X 的分布律为： X 0 1 2 3 pi• 35 210 105 210 63 210 7 210 二等品件数Y 的分布律为： Y 0 1 2 3 4 p• j 5 210 50 210 100 210 50 210 5 210 注：边际分布不能全面反映联合分布的内 含信息
维随机变量(5,7)关于5,的边缘分布函数 F(x), F(y) F(x)=P(5sx)=P(5sx,m<+)=F(x,+∞) Ep FE(r)=F(x, +oo)=lim F(x, y) Fn(y)=P(ns y)=P(5 <+00, n s y)=F(+oo, y) By F,(y)=F(+oo, y)=lim F(x,y) x→+0 FE(x)=F(x,+)1=F(+,+0) 0=F(∞,y) (y)=F(+∞,y) 0=F(x,-∞)
二维随机变量 (ξ ,η) 关 于 ξ ,η 的边缘分 布 函 数 F (x),F ( y) ξ η ： F ( x) = P(ξ ≤ x) = P(ξ ≤ x,η < +∞) = F( x,+∞) ξ 即F (x) F(x, ) lim F(x, y) y→+∞ ξ = +∞ = F ( y) = P(η ≤ y) = P(ξ < +∞,η ≤ y) = F(+∞, y) η 即F ( y) F( , y) lim F(x, y) x→+∞ η = +∞ = F ( y) = F(+∞, y) η F (x) = F(x,+∞) ξ 0 = F(−∞, y) 0 = F(x,−∞) 1 = F(+∞,+∞) O
例1已知(X,Y)的分布函数为 1-e-x-xe0≤x≤y F(x,y)={1-ey-yey0≤y≤x 其它 求Fx(x)与Fy(y) 解:F(x)=F(x∞)=-ex≥0 0 X< e Fy(y)=F(∞2y)= <0
例1.已知(X,Y)的分布函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ = − − − − 0 其它 1 0 1 0 ( , ) e ye y x e xe x y F x y y y x y 求 F X(x) 与 F Y(y) 。 解： F X(x)= F (x, ∞)= ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ − 0 0 1 0 x e x x F Y(y)=F ( ∞,y ) = ⎩ ⎨ ⎧ < − − ≥ − − 0 0 1 0 y e ye y y y
连续型随机变量 1)5的边缘分布函数: F(x)=F(x,+) dp(x,y)小 2)5的边缘概率密度: +0 PE(x)= p(x, y)dy 3)的边缘分布: )+OO Px, y)dx 4)η的边缘概率密度: Pn(y)= P(x, y)dx
连续型随机变量 1)ξ 的边缘分布函数： F x F x dx p x y dy x ( ) ( , ) ( , ) ∫ ∫ +∞ −∞ −∞ ξ = +∞ = 2)ξ 的边缘概率密度： p (x) p(x, y)dy ∫ +∞−∞ ξ = 3)η 的边缘分布： F y F y dy p x y dx y ( ) ( , ) ( , ) ∫ ∫ +∞ −∞ −∞ η = +∞ = 4)η 的边缘概率密度： p ( y) p(x, y)dx ∫ +∞−∞ η =
例2设(X,)在以原点为中心,r为半径的圆域R上服 从均匀分布,求X及Y边缘概率密度。 解:已经求出(X,Y)的联合密度函数为 p(x,y)={x2 x +ysr 0. 2 x-十y->F Px(x)= p(x, y)dy 当|x」r时, 2 Px(x= 当|x>p时,Px(x)=0 2N .Px(x)= x|≤ X>I
-r r -r r x y 0 例 2. 设 ( , X Y )在以原点为中心， r 为半径的圆域 R 上服 从均匀分布，求 X 及 Y 边缘概率密度。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > + ≤ = 2 2 2 2 2 2 2 0 , , 1 ( , ) x y r x y r p x y πr 解：已经求出（ X， Y）的联合密度函数为 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 r r x dy r p x r x r x X π π − = = ∫ − − − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ − ∴ = x r x r r r x p X x 0 , | | , | | 2 ( ) 2 2 2 π 2 2 − r − x 2 2 r − x x 当| x |≤ r 时, ∫ ∞ − ∞ p x = p x y dy X ( ) ( , ) p ( x ) = 0 当| x |> r 时, X