第五章线性方程组的法 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
1 上一页 下一页 第五章 线性方程组的解法
Ax=b 12 其中 A 21 22 n 且|A=0 nI n2 1~25 b=[b,,“,b] n 注:如果没有特别说明,下面总假定 系数行列式的值 A≠0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
2 上一页 下一页 A x = b 1 2 , , , T n x x x x = 1 2 , , , T n b b b b = 注：如果没有特别说明，下面总假定 系数行列式的值 | | 0 A 其中 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 且 | | 0 A
利用 Cramer法则求解时存在的困难是:当方程 组的阶数n很大时,计算量为O(n+1(n-1)n) 常用计算方法: >直接解法:它是一类精确方法,即若不考虑 计算过程中的舍入误差,那么通过有限步运 算可以获得方程解的精确结果 Gauss逐步(顺序)消去法、 Gauss-主元素法、矩阵分解法等 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
3 上一页 下一页 利用 法则求解时存在的困难是：当方程 组的阶数 很大时，计算量为 Cramer n 常用计算方法: ➢ 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑 计算过程中的舍入误差，那么通过有限步运 算可以获得方程解的精确结果. Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等； O n n n (( 1)( 1) !) + −
迭代解法:所谓迭代方法,就是构造某种极限 过程去逐步逼近方程组的解 经典迭代法有: Jacobi迭代法、Gass- Seidel迭代法 逐次超松弛(SOR)迭代法等; 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
4 上一页 下一页 ➢迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种极限 过程去逐步逼近方程组的解. 经典迭代法有： Jacobi 迭代法、 Gauss Seidel − 迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
51预备知识 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
5 上一页 下一页 §1 预备知识
>向量范数 >向量范数 定义R空间的向量范数‖·‖对任意,p蒲足条件 (1)‖x‖≥0;‖‖=0x=0(非负性) (2)‖axll=al‖x对任意a∈C(齐次性) (3)‖x+川S‖‖+‖列‖(三角不等式) 常用向量范数: H=∑|x 1=12x,x=21x =1 maxx I≤iSn 注:im‖x‖,=‖Il copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 页下一页
6 上一页 下一页 ➢ 向量范数 ➢ 向量范数 定义 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足条件： n x y R , (1) || || 0 ; || || 0 0 x x = x = （非负性 ) (2) || x || | | || x || = 对任意 C (齐次性 ) (3) || x y || || x || || y || + + （三角不等式 ) 常用向量范数： = = n i x xi 1 1 || || | | = = n i i x x 1 2 2 || || | | p n i p x p x i 1 / 1 || || = | | = || || max | | 1 i i n x x = 注： → lim || x || = || x || p p
定义对于任意两种范数‖·MA,‖·lB,总存在常数C1、C2>0 使得C1‖x‖‖A≤C2cg,则称‖·4和‖·|等价 (范数等价性) 定理R上-切范数都等价 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
7 上一页 下一页 定义 对于任意两种范数 || · ||A，|| · ||B ，总存在常数 C1、C2 > 0 使得 ， 则称 || · ||A 和|| · ||B 等价。 （范数等价性） C x B x A C x B || || || || || || 1 2 定理 Rn 上一切范数都等价
引理是闻上的一个范数,则是 的分量x1,x2的连续函数 证明:对任何x=(x1,…,xn),y=(y1,,yn)有 x=∑ ∑ 其中第个基向量 从而有x-s|x-p ∑x-)∑x,-y copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
8 上一页 下一页 设 是在 上的一个范数，则 是 的分量 的连续函数. x n R x x 1 2 , , , n x x x 证明: 对任何 1 ( , , ) , T n x x x = 1 ( , , )T n y y y = 有 1 1 , n n j j j j j j x x e y y e = = = = 其中 是第 个基向量. j e j 从而有 x y x y − − 1 1 ( ) | | n n j j j j j j j j x y e x y e = = = − − 引理1
≤ max e 2 因而当y,y→x 即‖为的连续函数 证毕 定理!|范数的等价性)对于中征意两种范数 l,,总存在常数n和M使对一切x∈R 都有 mll<pill smx 大 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
9 上一页 下一页 1 max | | n j j j j j e x y = − 因而当 y x → 时， y x → 即 x 为 的连续函数 x . （范数的等价性）对于 中任意两种范数 n R , , p q 总存在常数 m 和 ，使对一切 M n x R 都有 q p q m x x M x （*） 证毕 定理
证明我们只需证明任意范数|xl 与 Euclid范数x价即可 考虑单位球面S={y∈R,y2=1} 它是种的有界闭集,据引理1,‖续, 并且它在达到最大值和最小值m 其中 M2m>0 于是对于任何x∈R,x≠0有x/x2∈S 从而m≤r/x2sM copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页
10 上一页 下一页 证明 我们只需证明任意范数 p x 与Euclid范数 等价即可 2 x 考虑单位球面 2 { , 1} n S y R y = = 它是 R 中的有界闭集，据引理 n 1， 连续， p y 并且它在 S 上达到最大值 和最小值 M m 其中 M m 0 于是对于任何 , 0 n x R x 2 有 x x S / 2 / p 从而 m x x M