第四章数值积分与数值微分 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
1 上一页 下一页 第四章 数值积分与数值微分
2个研究对象: 用数值(近似方法求定积分 ∫f(x) 2、用数值近似)方法求微分: df(x) d x copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
2 上一页 下一页 b a f (x)dx • 2个研究对象: 1、 用数值(近似)方法求定积分: 2、 用数值(近似)方法求微分: n n dx d f (x)
4个需要关心的问题: 1、为什么要用数值(近似)方法? 2、有哪些数值(近似)方法? 3、数值(近似)方法的精度如何? 4、如何实现这些数值(近似方法? copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
3 上一页 下一页 • 4 个需要关心的问题： 1、 为什么要用数值(近似)方法？ 2、 有哪些数值(近似)方法？ 3、 数值(近似)方法的精度如何？ 4、 如何实现这些数值(近似)方法？
§1引言 、数值积分方法的基本思想 二、代数精度的概念 三、插值型求积公式 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
4 上一页 下一页 §1 引 言 一、数值积分方法的基本思想 二、代数精度的概念 三、插值型求积公式
、数值积分方法的基本思想 研究对象1:怎样求定积分I=f(x)dx? 主要有两种方法: 方法一:牛顿一莱伯尼兹( Newton- Leibniz)公式: b ∫(x)c=F(b)-F(a) 其中F(x)是f(x)的原函数,即 F(x=f(x) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
5 上一页 下一页 一、数值积分方法的基本思想 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 其中F(x)是f(x)的原函数，即 方法一：牛顿—莱伯尼兹(Newton-Leibniz)公式： = b a • 研究对象1：怎样求定积分 I f (x)dx ？ 主要有两种方法： F(x) = f (x)
∫f(x)dx=F(b)-F(a) 存在的问题: (1)原函数难求,无解析式 B]: f(x)=sinx, (sinx)/x, e (2)fx)仅提供样本值 {(x1,f(x)},=0,1,…,n copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
6 上一页 下一页 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 存在的问题： 例： （1）原函数难求，无解析式！ （2）f(x)仅提供样本值 ( ) sin ,(sin ) , , 2 2 x f x x x x e − = {(x , f (x ))},i 0,1, ,n. i i =
方法二:数值积分公式 对连续函数∫(x),根据积分中值定理,存在 5∈,b,使得 f(x)dx=(b-a)f(5) 只要给出计算∫(5)的一种算法便相应地获得 种数值求积方法 举例:1个节点的数值积分公式—矩形求积公式: b f(x)x≈A1.f(x0 a+b 常取 2 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
7 上一页 下一页 = − b a f (x)dx (b a) f ( ) 对连续函数 f (x) ，根据积分中值定理，存在 [a,b] ，使得 只要给出计算 f ( ) 的一种算法便相应地获得 一种数值求积方法. 举例：1个节点的数值积分公式——矩形求积公式： ( ) ( ) 0 x0 I f x dx A f b a = 常取 b a b x a , 2 , 0 + = 方法二：数值积分公式
b ∫f(x)ds(b-a)f(a) 左矩形求积公式 ∫∫(xks(b-a)rb+a"7 2 中矩形求积公式 b+a b ∫∫(x)dx≈(b-a)f(b) 右矩形求积公式 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
8 上一页 下一页 − b a f (x)dx (b a) f (a) —— 左矩形求积公式 —— 右矩形求积公式 —— 中矩形求积公式 + − b a b a f x dx b a f ) 2 ( ) ( ) ( − b a f (x)dx (b a) f (b)
2个节点的数值积分公式-梯形公式 b b f(a)c If(a)+∫(b f八(b) 2 f(a b copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
9 上一页 下一页 f(x) a b f(a) f(b) 2个节点的数值积分公式-----梯形公式 [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + −
般地,数值积分公式 b I=f(x)x≈∑4f(x),a≤x<x<…<x≤b i=0 优点:普适性、在计算机上的可操作性 三要素:求积节点数n+1 节点的分布x,=0(1)n 公式的系数 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
10 上一页 下一页 一般地，数值积分公式 = b a I f (x)dx ( ), 0 = n i i i A f x 优点：普适性、在计算机上的可操作性 三要素：求积节点数 n + 1 节点的分布 xi , i = 0(1)n 公式的系数 Ai . 0 1 a x x x b n