第九章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学曲线积分 曲面积分
第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分
第一节 第九章 二重积分的概念与性质 一、引例 、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章
引例 z=f(x,y) 1曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底:xoy面上的闭区域D 顶:连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法:类似定积分解决问题的思想: 大化小,常代变,近似和,求极限” HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)大化小 用任意曲线网分D为n个区域 f(r,y) AO1,AO2,…,△On 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(k,7) 小曲顶柱体 D 2)“常代变 k2k 在每个△Ok中任取一点(k,nk),则 △k≈f(5k,0k)△Ok(k=1,2,…,n) 3)“近似和” =∑Ak≈∑f(5k,m)Ok k=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 n , , , 1 2 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” = n k k k k f 1 ( , ) ( , ) k k f V f ( , ) (k 1,2, ,n) k k k k = 中任取一点 则 小曲顶柱体 k ( , ) k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束
4)“取极限 定义△ak的直径为 A(△ak)=max({P2|P,P2∈△ak 令=max{(△ak)} 1<k<n z=f(x,y) V=lim 2/(%, mk)J4ok /Ck, ne k △ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
4)“取极限” ( k ) = max P1P2 P1 ,P2 k 令 max ( ) 1 k k n = = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) ( , ) k k f k ( , ) k k 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.平面薄片的质量 有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C计算该薄片的质量M 若(x,y)≡(常数,设D的面积为σ,则 M=u 若(x,y)非常数,仍可用 B 大化小,常代变近似和,求极限 解决 1)大化小 X 用任意曲线网分D为n个小区域A1A2,…,AOn 相应把薄片也分为小区域 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M = 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x
2)“常代变 在每个△k中任取一点(5k21k)则第k小块的质量 △Mk≈(k,k)AOk(k=1,2,…,n) 3)近似和” M=∑AMk∑(5k,7k)△Ok k=1 4)取极限 X 令=max{(△k)} (5k,k)△ok 1<k<n M=lim∑(5kk)ok -0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
2)“常代变” 在每个 k 中任取一点 ( , ), k k 3)“近似和” = n k k k k 1 ( , ) 4)“取极限” max ( ) 1 k k n = 令 → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) k ( , ) k k 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x
两个问题的共性: (1)解决问题的步骤相同 大化小,常代变,近似和取极限 (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积 V=lim∑f(k,mk)△k →)0 平面薄片的质量 M=lim∑(5k,k)ak HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、二重积分的定义及可积性 定义:设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数, 将区域D任意分成n个小区域△ak(k=1,2,…,n)2 任取一点(k,mk)∈Ak,若存在一个常数I,使 =1im∑/(5k,k)△Ok 记作 ∫Df(xy)da 则称f(x,y)可积称为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x, y)d x,y称为积分变量 积分域被积函数面积元素 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ak=Axk△k,因此面积元素da也常 记作dxdy,二重积分记作 D/(x, y)dxdy 引例1中曲顶柱体体积 V=,f(x, y)do=,f(x,y)dxdy 引例中平面薄板的质量 M=u(, do=j IDA(x, y)dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积: = D M (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 = D f (x, y)d x d y = D (x, y)d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束