函数的连续性 函数的连续性 1.函数的增量 设函数f(x)在U(x0内有定义,Vx∈U5(x, △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 △y=f(x)-f(x),称为函数f(x)相应于Δx的增量 J y=f(x) y=f(r) △ △v: x0x0+△xx +△u
函数的连续性 一、函数的连续性 1.函数的增量 , . ( ) ( ) , ( ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x = − ( ) ( ), ( ) . y = f x − f x0 称为函数 f x 相应于x的增量 x y 0 x0 x0 + x y = f (x) x y x y 0 0 x x0 + x x y y = f (x)
2连续的定义 定义1设函数f(x)在U(x)内有定义如 果当自变量的增量△x趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即lm△y=0或 △r→>0 imf(x0+△x)-f(x0=0,那末就称函数 △x→0 ∫(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=∫(x)-∫(x), △x→>0就是x→x,4y→0就是∫(x)→>f(x
2.连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为f (x) 的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U(x)内有定义,如果 函数∫(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 点x处的函数值f(x),即limf(x)=f(x) 那末就称函数∫(x)在点x连续 "E-8"定义 VE>0,38>0,使当x-x<6时, 恒有f(x)-f(x)<E
定 义 2 设函数 f (x) 在 ( ) U x0 内有定义,如 果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点x0处的函数值 ( ) 0 f x ,即 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
例1试证函数∫(x)= xsin-,x≠0 在x=0 0. 0 处连续 证: lim x sin-=0, →0 又∫(0)=0,Iimf(x)=f(0) x→0 由定义2知 函数∫(x)在x=0处连续
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, lim ( ) (0), 0 f x f x = → 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续
3单侧连续 若函数f(x)在(a,x0内有定义,且f(x0-0)=f(x0), 则称f(x)在点x处左连续; 若函数f(x)在x0,b内有定义,且f(x0+0)=f(x0) 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续台是函数f(x)在x0 处既左连续又右连续
3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x + = f x 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x
x+2,x≥0 例2讨论函数f(x)= 在x=0处的 x-2,x0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b内连续,并且在左端点 x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间|a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理整函数在区间(-∞,+)内是连续的
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理整函数在区间 (−,+)内是连续的
例3证明函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内连续 证任取x∈(-∞,+0), △y=sin(x+△x)-sinx=2sin △2 cos(x+ 2 △v △x ∴cos(x+ 2 ≤1,则△y≤2sin 2 对任意的a,当α≠Q时,有sina<α, 故4≤2sin<△x,∴当Ax→时,4→0 2 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+0)都是连续的
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
例4证明y=a2在(-∞,+0)内连续 证只须证明对vxn∈(-+0),有 lim a=a lim Ay=lim a xo+Ax Ax→>0 x→)0 lim aa-1 v→0 ∠v =a0lim(-1)= 0 Ax→>0 故y=a在∨x0∈(-∞,+∞)处连续
例4 证明 y = a x在(−,+)内连续 证 只须证明 对x0 (−,+)，有 0 0 lim x x x x a = a → lim lim[ ] 0 0 0 0 x x x x x y = a − a + → → lim [ 1] 0 0 = − → x x x a a lim ( 1) 0 0 = − → x x x a a = 0 故y = a x在x0 (−,+)处连续
二、函数的间断点 函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件: (1)f(x)在点x处有定义; (2)limf(x)存在; x→x 0 (3)limf(x)=∫(x0) 如果上述三个条件中只要有一个不满足则称 函数f(x)在点x处不连续(或间断),并称点x为 ∫(x)的不连续点或间断点
二、函数的间断点 ( ) : 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → ( ) ( ). ( ) ( ), , 0 0 的不连续点 或间断点 函 数 在 点 处不连续 或间断 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足 则 称 f x f x x x