应用统计电子教案 第一章数理统计的基本概念与抽 样分布 数学学院应用数学系王国富 2005年8月
应用统计电子教案 第一章 数理统计的基本概念与抽 样分布 数学学院应用数学系 王国富 2005年8月
数理统计的基本概念与抽样分布 例:某钢筋厂每天可以生产某型号钢筋10000根, 钢筋厂每天需要对生产过程进行控制,对产品的 质量进行检验。如果把钢筋的强度作为钢筋质量 的重有指标,于是质量管理人员需要做如下方面 的工作 第一,对生产出来的钢筋的强度进行检测,获 得必要的数据。 第二,对通过抽样获取的部分数据进行整理、 分析并推断出这10000根钢筋的质量是否合乎要 求
数理统计的基本概念与抽样分布 例:某钢筋厂每天可以生产某型号钢筋10000根， 钢筋厂每天需要对生产过程进行控制，对产品的 质量进行检验。如果把钢筋的强度作为钢筋质量 的重有指标，于是质量管理人员需要做如下方面 的工作 第一，对生产出来的钢筋的强度进行检测，获 得必要的数据。 第二，对通过抽样获取的部分数据进行整理、 分析并推断出这10000根钢筋的质量是否合乎要 求
§12总体、个体、样本 1.2.1总体与个体 我们把所研究对象的全体称为总体或母体。 组成总体的每个单元称为个体 总体X可看作一个随机变量,称X的概率分布 为总体分布,称Ⅹ的数字特征为总体的数字特 征,对总体进行研究就是对总体的分布或对总体 的数字特征进行研究 1.22样本 从总体中抽取的一部分个体称为样本或者子 样,其中所含个体的个数称为样本容量 样本具有二重性:随机性和确定性
§1.2 总体、个体、样本 • 1.2.1 总体与个体 我们把所研究对象的全体称为总体或母体。 组成总体的每个单元称为个体 总体X可看作一个随机变量 ,称X的概率分布 为总体分布，称X的数字特征为总体的数字特 征 ,对总体进行研究就是对总体的分布或对总体 的数字特征进行研究 . • 1.2.2 样本 从总体中抽取的一部分个体称为样本或者子 样，其中所含个体的个数称为样本容量 . 样本具有二重性：随机性和确定性
定义1.1设总体X的样本满足 (1)独立性:每次观测结果既不影响其它结果,也不受其 它结果的影响;即相互独立; (2)代表性:样本中每一个个体都与总体X有相同分布。 则称此样本为简单随机样本。 进行有放回抽样就是简单随机样本,无放回抽样就 不是简单随机样本。但N很大,n相对较小时无放回抽 样得到的样本可以近似看作简单随机样本 称样本的分布为样本分布。如果(X12X2Xn)为 简单随机样本,F(x)为总体X的分布函数,则样本分 布有比较简单的形式
• 定义1.1 设总体X的样本满足 ⑴ 独立性：每次观测结果既不影响其它结果，也不受其 它结果的影响；即相互独立； ⑵ 代表性：样本中每一个个体都与总体X有相同分布。 则称此样本为简单随机样本。 进行有放回抽样就是简单随机样本 ,无放回抽样就 不是简单随机样本。但N很大，n相对较小时无放回抽 样得到的样本可以近似看作简单随机样本. 称样本的分布为样本分布。如果 为 简单随机样本， 为总体X的分布函数，则样本分 布有比较简单的形式 1 2 ( , , , ) X X X n F x( )
F(x12x2,…,xn)=P(X1<x122<x2…Xn<xn) =P(XI<XP(X2<x2) . P(Xn <x,) =IIF() 它完全由总体X的分布函数确定
它完全由总体X的分布函数确定 , , , ) ( , , , ) 1 2 n 1 1 2 2 n n F（x x x = P X x X x X x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) = P X x P X x P X x n n 1 ( ) n i i F x = =
两种形式 f(x12x2…xn)=∏f(x) i=1 P(X1=x1,X2=x2…Xn=xn)=∏P 例11设有一批产品,其次员率伪p,如果记=0” 表示抽取一件产品是次品;“ ”表示抽取一件 产品是正品;那么,产品的质量就可以用X的分布来衡 量 服从0-1分布,参数就是次品率p。如果为简单随机样 本,求样本分布 总体X的概辛分布为1x X)=p
( , , , ) ( ) 1 1 2 i n i n f x x x f x = = i n i P X x X x Xn xn p 1 1 1 2 2 ( , , , ) = = = = = 两种形式 例1.1 设有一批产品，其次品率为p，如果记“ ” 表示抽取一件产品是次品；“ ” 表示抽取一件 产品是正品；那么，产品的质量就可以用X的分布来衡 量。 X服从0-1分布，参数就是次品率p。如果为简单随机样 本，求样本分布. 解：总体X的概率分布为 ( ) (1 ) , x 1 x P X x p p − = = − X = 0 X =1
所以(X1,X2,…,X)舶概率分布为 P(XI=X,X,=x2,,, X=n=p(1-p) P(X=x)=p2(1-p), y
1 2 ( , , , ) 所以 X X X n 的概率分布为 i i x x n i P X x X x Xn xn p p − = = = = = − 1 1 1 1 2 2 ( , ,, ) (1 ) − = = = − n i i n i i x n x p p 1 1 (1 ) 1 ( ) (1 ) , x x P X x p p − = = −
例12设总体X服从参数为a2的正态分布, 求样本(X1,X2…Xn)的分布密度。 解:总体X的分布密度为 f2(x) e <x<+ 2丌 所以(X1,X2…,xn)的概率分布为 f(x1,x2…,xn)=()"eXp( 22(x-)2) 20 20
• 例1.2 设总体X服从参数为 的正态分布， 求样本 的分布密度。 解：总体X的分布密度为 所以 的概率分布为 2 , 1 2 ( , , , ) X X X n 2 2 ( ) 2 1 , 2 1 ( ) − − = x f x e − x + 1 2 ( , , , ) X X X n 2 1 2 2 1 1 ( , , , ) ( ) exp( ( ) ) 2 2 n n i f x x x x = − −
统计量 ·统计量的定义 定义12设(X12X2…,Xn)为总体X的一个样本, T=T(X1,X2…,Xn)为X1,X2,…Xn的连续函数, 且不含有任何未知参数,则称T为一个统计量 注:1统计量是完全由样本确定的一个量,即样 本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的 2统计量是一个随机变量,它将高维随机变 量问题转化为一维随机变量来处理,但不会损 失所讨论问题的信息量
• 统计量 • 统计量的定义 定义1.2 设 为总体X的一个样本， 为 的连续函数， 且不含有任何未知参数，则称T为一个统计量。 注:1.统计量是完全由样本确定的一个量，即样 本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的 值 ; 2.统计量是一个随机变量，它将高维随机变 量问题转化为一维随机变量来处理 ,但不会损 失所讨论问题的信息量. 1 2 ( , , , ) X X X n 1 2 ( , , , ) T T X X X = n X X Xn , , 1 2
常见的统计量 1.样本均值 2样本方差 3.k阶原点矩 4.k阶中心矩 最大顺序统计量Xa 5顺序统计量最小顺序统计量Xm 第K顺序统计量:X 6样本极差与中位数
• 常见的统计量 1.样本均值 2.样本方差 3.k 阶原点矩 4.k 阶中心矩 5.顺序统计量 6.样本极差 与中位数 (1) (n) (k) 最大顺序统计量:X 最小顺序统计量:X 第K顺序统计量:X