第一节向量的内积
一、内积的定义及性质 定义1设有n维向量 令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn 称[x,y]为向量x与y的内积
定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1 = = n n y y y y x x x x n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质
说明 1以(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广,但是没有3维向量直观的几何意义 2内积是向量的一种运算,如果x,y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为: kx,y]=xy
说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) , . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
内积的运算性质 (其中x,y,z为n维向量,为实数) (1)[x,y=[y,x (2)x,y =alx,y5 (3)[x+y,z]=[x,z+[y, (4)x,x≥0,且当x≠0时有x,x]>0
内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0
二、向量的长度及性质 定义2令 x=[x,x]=x2+x2+…+x2, 称x为m维向量x的长度(或范数) 向量的长度具有下述性质: 1非负性当x≠0时,x>0;当x=0时,x=0; 2次性x=|x; 3.三角不等式x+y≤xl+y
定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 , , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x 0时, x 0;当x = 0时, x = 0; x = x ; x + y x + y . 二、向量的长度及性质
单位向量及n维向量间的夹角 (1当x=时,称x为单位向量 (2)当x≠0,y≠0时,0= arccos [x,y] 称为m维向量x与y夹角 例求向量a=(1,2,2,3)与B=(31,5,1)的夹角 2 解∵cos日= a·B_18 圳3262 ∴6 之
单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
三、标准正交基 1正交的概念 当x,y=0时称向量与正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向 量组为正交向量组
１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、标准正交基
3正交向量组的性质 定理1若n维向量a1,a2,…a,是一组两两正交的 非零向量则ax1,a2,…,a线性无关 证明设有λ1,气2…,使 a1+2a2+…+an=0 以a左乘上式两端得1a1a1=0 由a1≠0→a1a1=a12≠0,从而有1=0 同理可得λ2=…=4=0.故a1,a2,…,ax,线性无关 M
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
4向量空间的正交基 若an1,a2,…,a,是向量空间的一个基且an1,a2, ,a,是两两正交的非零向量组,则称a1,a2,…,,是 向量空间的正交基 例1已知三维向量空间中两个向量 2 正交,试求3使ax1,a2,a3构成三维空间的一个正交 基
例1 已知三维向量空间中两个向量 = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r
解设a3=(x1,x2,x3)≠0,且分别与a1,a2正交 则有|a1,a3]=a2,a3=0 1903 x1+x2+x3=0 即 a2,a3l=x1-2x2+x3=0 解之得x1=-x3,x2=0 若令x3=1则有a3=x2|=0 x3 由上可知1,C2,O3构成三维空间的一个正交基
即 = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有 − = = 1 0 1 3 2 1 3 x x x 由上可知 1 2 3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T x x x