第二节向量组的线性相关性 w吧w吧w吧行吧吧好产
第二节 向量组的线性相关性
、线性相关性的概念 定义3给定向量组A:a1,a2,…,am,如果存在不 全为零的数k,k2,k使 1,2,,m ka1+k2a2+…+kmam=0 则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关 注意1.若a1,a2,,an线性无关,则只有当 1=…=n=0时,才有 a1+2a2+…+nan=0成立 2.对于任一向量组不是线性无关就是 线性相关
0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A 全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义３ 一、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
3向量组只包含一个向量a时,若a=0则说a 线性相关,若a≠0,则说c线性无关 4包含零向量的任何向量组是线性相关的 5对于含有两个向量的量量组它线性相关的 充要条件是两向量的量量对应成比例,几何意 是两向量共线
, 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说 = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. . 5. , 是两向量共线 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 对于含有两个向量的向量 组 它线性相关的
二、线性相关性的判定 定理向量组a1,202,…当m≥对)线性相关 的充分必要条件是a1,C2,…,Cn中至少有一个向 量可由其余m-1个向量线性表示 证明充分性 设1,2…,m中有一个向量(比如an) 能由其余向量线性表示.即有 an=11+2a2+…+xn1Cn
定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． m , , , 1 2 m 2 m , , , 1 2 m − 1 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. a a a m , , , 1 2 m a 即有 a m = 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 二、线性相关性的判定
故A1a1+42a2+…+an;an1+(-1)n=0 因礼1,2,…,n1,(-1)这m个数不全为0, 故C1,C2,…,C线性相关 必要性设a1,a2,…,Cn线性相关, 则有不全为0的数k1,k2,…,km,使 ka1+k2a2+…+knCn=0
故 11 + 2 2 ++ m−1 m−1 + (− 1)a m = 0 因 1 ,2 , , m−1 ,(− 1) 这 m 个数不全为0， 故 m 线性相关. , , , 1 2 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 , ,km , 使 0. k11 + k2 2 ++ k m m =
因k1,k2,,km中至少有一个不为0, 不妨设k1≠0则有 a t 3 1 c,+十… 3 , 即c1能由其余向量线性表示 证毕
因 k1 , k2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有 . 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k + + − + − = − 即 1 能由其余向量线性表示. 证毕
线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时,这个方程就是多余的,这时称方程组(各 个方程)是线性相关的;当方程组中没有多余方 程,就称该方程组(各个方程)线性无关(或线 性独立) 结论向量组4线性相关就是齐次线性方程组 x1a1+x2a2+…+xnam=0,即Ax=0 有非零解其中A=(a1,a2,…amn)
. 性独立） 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 线性相关性在线性方程组中的应用 . ( , , ). 0, A 0 1 2 1 1 2 2 m m m A x x x x A = + + + = = 有非零解 其中 即 结论 向量组 线性相关就是齐次线性方程组
定理4向量组ax1,a2,…,cn线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,…,an)的秩小 于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是 R(4)=m 下面举例说明定理的应用
( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A m m = = 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件是 条件是它所构成的矩 阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要 定理4 下面举例说明定理的应用
例1n维向量组 1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0)y,…,en=(0,0,…,)y 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 E=(e1,e2,…,en) 是n阶单位矩阵由E=1≠0,知R(E)=n 即R(E)等于向量组中向量个数故由定理4知此 向量组是线性无关的
n 维向量组 ( ) ( ) ( )T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 = 2 = ， = 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n E e e e n = n 由E = 1 0，知R(E) = n. . ( ) 向量组是线性无关的 即R E 等于向量组中向量个数，故由定理4知 此 例１
例2已知 2 025 4 试讨论向量组1,a2a3及a1,a2的线性相关性 解分析 对矩阵(a1,a2,a3),施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵可同时看出矩阵(,a2,a3) 及(a,a2)的秩,利用定理即可得出结论
， ， ， = = = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1 2 3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 . , 及 （ ， ）的秩，利用定理即可得出结论 成行阶梯形矩阵可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变 4 1 2 1 2 3 1 2 3 例２ 已知 分析