西北工业大学：《概率论与数理统计》第一章 随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率 、主要内容 1、随机事件的定义、关系及其运算 2、随机事件概率的定义(统计定义、古典概型定义、几何定义、公理化); 3.概率的性质(5个性质) 4、独立试验序列概型,贝努利试验; 5、随机事件概率的计算。 注意利用: (1)、概率的加法公式 (2)、概率的性质; (3)、条件概率公式 (4)、乘法概率公式; (5)、全概率公式 (6)、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式; (8)、二项概率计算公式。 二.应记忆的公式 1.德莫根律 UA=∩A,∩4=UA 2.加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 3.减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 4.当A与B互斥时P(AUB)=P(A)+P(B) 5.条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B),P(B)>0 6.乘法概率公式 7.全概率公式 8.贝叶斯公式 9.相互独立事件的概率计算公式4U…UA)=1-P(A4U…A) =1-P(41A2…An)=1-P(A1)…P(An)

第一章 随机事件及其概率 一、主要内容： 1、随机事件的定义、关系及其运算； 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义、几何定义、公理化）； 3.概率的性质(5 个性质)； 4、独立试验序列概型，贝努利试验； 注意利用： 1. 2. B) P(AB) 5、随机事件概率的计算。 (1)、概率的加法公式； (2)、概率的性质； (3)、条件概率公式； (4)、乘法概率公式； (5)、全概率公式； (6)、贝叶斯公式 ； (7)、相互独立事件的概率计算公式； (8)、二项概率计算公式。 二. 应记忆的公式 德莫根律 i n 1 A i= i ∪ n i 1 i n 1 i n i 1 A A , A = i= = ∪ = ∩ ∩ = 加法公式 P(A∪ B) = P(A) + P( − 3. 减法公式 P(A − B) = P(A) − P(AB) 4. 当 A 与 B 互斥时 P(A B) P(A) P(B) 0 ∪ = + 5. 条件概率公式 = P AB P B P(B) > 6. 8. 9. P(A| B) ( )/ ( ), 乘法概率公式 7. 全概率公式 贝叶斯公式 相互独立事件的概率计算公式 ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ) 1 1 n n n A P A P A P A A " " ∪"∪ = − = − 1 ( ( 1 2 1 n P A A P A ∪"∪ A = − 1

三、典型例题 1、设A,B为两事件,若AB=AB,则A与B应满足什么关系? 【解】由AB=AB=AUB,有 P=(AUB(AUB)=(AUB)AB= AB g=(AUB)∪(AUB)=(心UB)∪AB=A∪B 上述两式表明A与B是互为对立事件,即A=B 2、一射手向目标射击3发子弹,A表示第i发子 弹打中目标(i=1.2,3)。试用A,A1,A1及其运算表示下列事件: (1)B:3发子弹都打中了目标 【解】(1)B1=A4241 (2)B2:3发子弹至少有1发打中了目标 【解】(2)B2=A1UA2UA3 (3)B3:3发子弹至少有1发未打中目标 【解】(3)B1=U五U (4)B4:3发子弹至少有2发打中了目标 【解】(4)B4=AA2∪AA3UAA3 (5)B3:3发子弹恰有1发打中了目标 【解】(5)B5=AA43∪AA2A3UAA2A (6)B6:3发子弹至多有1发打中了目标 【解】(6)B6=AA2A∪4A2 A2UAAAUAA241 3、从0到9这10个数字中任取4个数字由左到右排成一列 问能排成四位数的偶数(事件A)的概率是多少? 【解】从0到9这10个数字中任取4个数字由左到右排成一列,每一个这样的排列就是试 验的一个可能结果,即一个样本点。故样本点总数为P,这些样本点发生是等可能的。 设B为千位数字为奇数的四位数的偶数,B2为千位数字为偶数的四位数的偶数

三、 典型例题 1、设 【解】 由 2、一射手向目标射击 【解】（1） 【解】（2） 【解】（3） 【解】（4） 【解】（5） 【解】（6） 3、从 【解】 从 A, B 为两事件，若 AB = AB ，则 A 与 B 应满足什么关系？ AB = AB = A∪ B ，有 B A B AB A B B A B AB AB ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = = = = = ) ( ) φ ) ( ) 上述两式表明 A B A A B A ∪ ∪ ∪ ∪ Ω = ( ) ( ( )( A与 B 是互为对立事件，即 A = B . 3 发子弹， Ai 表示第i 发子 弹打中目标（ ）。试用 1 2 3 A , A , A 及其运算表示下列事件： B1 = A1A2 A3 （2） B ：3 发子弹至少有 1 发打中了目标； B2 = A1 ∪ A2 ∪ A3 （3） B3：3 发子弹至少有 1 发未打中目标； i = 1,2,3 （1） B1 ：3 发子弹都打中了目标； 2 A1 ∪ A2 ∪ A3 （4） 2 B4 = A1A2 ∪ A1A3 ∪ A2A3 （5） B5 ：3 发子弹恰有 B3 = B4 ：3 发子弹至少有 发打中了目标； 1 发打中了目标； B5 = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 （6） B6 ：3 发子弹至多有 1 发打中了目标； ∪ A1A2A3 0 到 9 这 10 个数字中任取 4 个数字由左到右排成一列， A）的概率是多少？ 0 到 9 这 10 个数字中任取 4 个数字由左到右排成一列，每一个这样的排列就是试 验的一个可能结果，即一个样本点。故样本点总数为 4 P10 ，这些样本点发生是等可能的。 设 B1为千位数字为奇数的四位数的偶数， B2 为千位数字为偶数的四位数的偶数。 B6 = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 问能排成四位数的偶数（事件 2

则A=B1UB2,B1∩B2=p B1的有利场合数(B1的有利场合数即为事件B1中的样本点数)计算如下:从5个奇数 中任取1个放在千位有C种取法:从5个偶数中任取1个放在个位有C种取法:再从剩下 的8个数字中任取2个一个放在百位,一个放在十位有B种取法,故B1的有利场合数为 CP3C。 注意到千位上的数字不能为0,仿上面讨论可得B2的有利场合数为CP3C4 于是P(A)=P(BUB2)=P(B)+P(B2) c!C;+c!PC)}=41 4、将含有3名优秀生的15名学生随机地分成3组,每小组5人,求下列事件的概率: (1)A:每个小组各有1名优秀生 (2)B:3名优秀生分到一个小组 (3)C:3名优秀生有2名分到一个小组,另一名分到另一个小组。 【解】15名学生随机地分成三个5人小组所有不同的分法为15,这是样本点总数,这些 5515! 样本点发生是等可能的 (1)A的有利场合数:将3名优秀生分到三个小组每人一组的分法总数为3!:12名其他 学生分成三组4人一组的所有分法为12,故A的有利场合数为×12。于是,所求概率 4!4|4! 4414 P(4=312/19 444/55591 (2)B的有利场合数:将12名其他学生分成2人、5人、5人的三个小组的所有分法为 121212,哪一组为2人,3名优秀生就分到这个组,只有1种分法。故B的有 2155!5215552 利场合数为3x12。于是,所求概率为P(B)=123/1=0 552! 255/55591 (3)C的有利场合数:将12名其他学生分成3人、4人、5人的三个小组的所有分法为 12 将3名优秀生分成2人、1人的二个组有C3种分法,对于每一种这样的分法将2名优秀生 分到3人组的那个组里,将另一名优秀生分到4人组的那个组里,只有1种分法。故C的

B1 ∪ B2 , B1 ∩ B2 = φ B 中的样本点数） 则 A = 的有利场合数 的有利场合数即为事件 1 计算如下：从 5 个奇数 中任取 1 个放在千位有 1 C5 种取法；从 5 个偶数中任取 1 个放在个位有 1 C5 种取法；再从剩下 的 8 B1的有利场合数为 1 C5 注意到千位上的数字不能为 0，仿上面讨论可得 2 1 4 2 8 1 C4P C 于是 ( P A P B1 B2 P B1 P B2 B1 （ B1 个数字中任取 2 个一个放在百位，一个放在十位有 2 P8 种取法，故 1 5 2 P8 C 。 B 的有利场合数为 ) = ( ∪ ) = ( ) + ( ) 90 41 ) 1 4 2 8 1 4 1 5 2 ( P8 C + C P C = 1 1 4 5 10 = C P 3 组，每小组 5 人，求下列事件的概率： （1） A: （2） B :3 （3） 名分到一个小组，另一名分到另一个小组。 名学生随机地分成三个 5 人小组所有不同的分法为 4、将含有 【解】 15 3 名优秀生的 15 名学生随机地分成 每个小组各有 1 名优秀生； 名优秀生分到一个小组； C : 3 名优秀生有 2 5!5!5! 15! ，这是样本点总数，这些 （1） 样本点发生是等可能的。 A 的有利场合数：将 3 名优秀生分到三个小组每人一组的分法总数为 3！；12 名其他 学生分成三组 4 人一组的所有分法为 4!4!4! 12! ，故 A 的有利场合数为 4!4!4! 12! 3!× 。于是，所求概率 为 4!4!4! 5!5!5! 91 3! 12! 15! 25 ( ) = × P A = （2） B 的有利场合数：将 12 名其他学生分成 2 人、5 人、5 人的三个小组的所有分法为 5!2!5! 5!5!2! + ，哪一组为 2 人，3 名优 5!5!2! 12! 3× 。于是，所求概率为 91 6 !5! ! 2!5! 12! ( ) = 5!5 15 5! 3 12! 12! 2!5!5! 12! + 秀生就分到这个组，只有 1 种分法。故 B 的有 利场合数为 × P B = （3）C 的有利场合数：将 12 名其他学生分成 3 人、4 人、5 人的三个小组的所有分法为 3 5! ! × . 3!4! 12 将 3 名优秀 人的二个组有 2 C3 种分法，对于每一种这样的分法将 2 名优秀生 分到 3 人组的那个组里，将另一名优秀生分到 4 人组的那个组里，只有 1 种分法。故C 的 生分成 2 人、1 3

有利场合数为12×3C,故所求概率为PC)=12C/1=0 小结求事件的古典概率应注意两点: (1)择合适解决问题的试验与样本空间,正确算出样本点总数、有关事件的有利场 合数,避免重复或漏算。参见第4题。 (2)利用事件之间的关系与运算,把所求概率的事件表示为容易求出其概率的一些 事件的运算,再利用概率的性质计算出所求的概率。参见第3题 5、10件产品中有4件不合格,从中任取2件。已知所取的2件中有1件不合格,求另一件 也是不合格的概率 【分析】此题是求条件概率,关键是正确理解“已知所取的2件中有1件不合格”这句话 的含义,它等价于“已知所取的2件中至少有1件不合格”的 【解】设B表示“所取的2件中有1件是不合格的”,即所取的2件中至少有1件是不合 格的;A表示“所取的2件中另1件也是不合格的”,即所取2件都是不合格的。由古典概 率知 P(A) P(B)=1-P(B)=1 又B=A,于是所求概率为P(4B)=46)=4=1 6、已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,试求 (1)P(B|A);(2)P(A|B);(3)P(B|A∪B);(4)P(AB|AB) 解]()P(B|A=PB)=02=2 P(A)0.33 (2)P(41B)=P4B=02=1 B)042 (3)P(BIAUB)= PIB(AUB) P(B) P(AUB) P(A)+P(B)-P(AB)5 (4)P(A∪B|A∪B)=P(AB|A∪B)=1-P(AB|A∪B) A4B(40B)=1 A∪B)0.3+0.4-0.25 7、设甲地下雨的概率是0.5,乙地下雨的概率是0.3, 甲、乙两地同时下雨的概率是0.10,试求 (1)已知甲地下雨的条件下,乙地下雨的概率 【解】用A表示“甲地下雨”,B表示“乙地下雨 C表示“丙地下雨”,则

有利场合数为 2 3 3! 3!4!5! 12! × ×C 。故所求概率为 91 60 5!5!5! 15! 3!4!5! 12! 3! ( ) 2 3 = × × = C P C 小结 求事件的古典概率应注意两点： （1） 择合适解决问题的试验与样本空间，正确算出样本点总数、有关事件的有利场 合数，避免重复或漏算。参见第 4 题。 （2） 利用事件之间的关系与运算，把所求概率的事件表示为容易求出其概率的一些 事件的运算，再利用概率的性质计算出所求的概率。参见第 3 题。 中有 4 件不合格，从中任取 2 件。已知所取的 2 件中有 1 件不合格，求另一件 题是求条件概率，关键是正确理解“已知所取的 2 件中有 1 件不合格”这句话 2 件中至少有 1 5、10 【分析】 此 【解】 设 6、已知 [解] (1) P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(AB)=0.2, 试求 (1)P(B|A); (2)P(A|B); (3)P(B|A ∪ B ); (4)P(⎯A∪⎯B |A∪B). 7、设甲地下雨的概率是 【解】用 件产品 也是不合格的概率 的含义，它等价于“已知所取的 件不合格”的。 B 表示“所取的 2 件中有 1 件是不合格的”，即所取的 2 件中至少有 1 件是不合 格的； A 2 件都是不合格的。由古典概 率知 表示“所取的 2 件中另 1 件也是不合格的”，即所取 15 3 ( 2 10 2 C10 C P A 又 2 , ( ) 1 ( ) 1 2 ) 2 6 2 4 = = = − = − = C P B P B C B ⊃ A，于是所求概率为 5 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = P B P A P B P AB P AB 3 2 0.3 0.2 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A . (2) 2 1 0.4 0.2 ( ) ( ) = = = P B P AB . P[B(A ∪ B)] P(B) P(A | B) (3) 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) = + − = = P A B P A P B P AB P B A B ∪ ∪ . (4) P(A ∪ B | A∪ B) = P(AB | A∪ B) =1− P(AB | A ∪ B) 5 3 0.3 0.4 0.2 0.2 1 ( ) ( ) 1 ) )] = + − = − ∪ = − ∪ P A B P AB B B . ( [ ( 1 ∪ = − P A P AB A 甲、乙两地同时下雨的概率是 0.10, 试求: ; A 表示“甲地下雨”, B 表示“乙地下雨”, C 表示“丙地下雨”, 则 0.5, 乙地下雨的概率是 0.3, (1)已知甲地下雨的条件下, 乙地下雨的概率 4

P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.10, 所求概率为 P(B|A)=P(AB)0.0=02 P(4)0.5 (2)已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下,甲地下雨的概率 【解】用A表示“甲地下雨”,B表示“乙地下雨”,C表示“丙地下雨”,则 P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.10 所求概率为 P|AUB)=P(A(A∪B)= P(AUB) P(A)+P(B)-P(AB) 0.5 0.5+0.3-0.107 8、设某人按如下原则决定某日的活动:如该天下雨则以0.2的概率外出购物,以0.8的概率 去探访朋友;如该天不下雨,则以0.9的概率外出购物,以0.1的概率去探访朋友.设某地下 雨的概率是0.3 (1)试求那天他外出购物的概率 (2)若已知他那天外出购物,试求那天下雨的概率 【解】用A表示“该天下雨”,用B表示“外出购物”,则 P(B|A)=0.2,P(B|A)=0.8,P(B|A=0.9 P(|A=0.1,P(A)=0.3 (1)由全概率公式知,所求概率为 P(B)=P(A)P(B|A)+P(ATP(B|A=0.3×0.2+0.7×0.9=0.69 (2)由 Bayes公式知,所求概率为 H41B)=2C4B) P(B) P(AP(B A)+P(A)P(B A) 0.3×0.2 0.3+0.2+0.7×0.9 9、设在某一男、女人数相等的从群中,已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲.今从 该人群中随机地选择一人,试问: (1)该人患有色盲的概率是多少? (2)若已知该人患有色盲,那么他是男性的概率是多少? 【解】用A表示“选到男性”,用B表示“所选的人是色盲”,则 P()=P(A)=、w∥5,PB/万=025 (1)所求概率为 P( B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

P(A) 所求概率为 =0.5, P(B)=0.3, P(AB)=0.10, 0.2 0.5 0.10 ( ) ( ) = = P A P AB . , 甲地下雨的概率. A 表示“甲地下雨”, B 表示“乙地下雨”, C 表示“丙地下雨”, 则 , =0.3, P(AB)=0.10, 所求概率为 P(B | A) = (2)已知甲、乙两地中至少有一地下雨的条件下 【解】 用 8、设某人按 【解】 用 9、 设 【解】 用 P(A)=0.5 P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( )) ( | ) P A P B P AB P A B P A A B P A A B + − = ∪ ∪ ∪ = P(A .5 5 0. 7 概率外出购物 5 0.3 0.10 0 = + − = . 如下原则决定某日的活动: 如该天下雨则以 0.2 的 , 以 0.8 的概率 去探访朋友; 如该天不下雨 的概率去探访朋友. 设某地下 雨的概率是 0.3. (1)试求那天他外出购物的概率; . A 表示“该天下雨”, 用 B 表示“外出购物”, 则 P(B|A)=0.2, P(⎯B|A)=0.8, P(B|⎯A)=0.9, P(⎯B| A)P(B|⎯A)=0.3×0.2+0.7×0.9=0.69. (2) 由 , 则以 0.9 的概率外出购物, 以 0.1 (2)若已知他那天外出购物, 试求那天下雨的概率 ⎯A)=0.1, P(A)=0.3. (1)由全概率公式知，所求概率为 P(B)= P(A)P(B|A)+P(⎯ Bayes 公式知,所求概率为 B | A) ( ) ( | ) ( ) ( ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P P A P B A P B P AB P A B + = = 23 2 0.3 0.2 0.7 0.9 0.3 0.2 = + + × × = . 在某一男、女人数相等的从群中, 已知 5%的男人和 0.25%的女人患有色盲. 今从 : 那么他是男性的概率是多少？ 表示“选到男性”, 用 B 表示“所选的人是色盲”, 则 该人群中随机地选择一人, 试问 (1)该人患有色盲的概率是多少？ (2)若已知该人患有色盲, A 2 1 P(A) = P(A) = , 100 5 P(B | A) = , 100 0.25 P(B | A) = . (1)所求概率为 P(B)=P(A)P(B|A)+P(⎯A)P(B|⎯A) 5

0.02625 21002100 (2)所求概率为 P(A1B)=P(AB)-- P(A)P(B 4) P(B) P(AP(B A)+P(A)P(BA 10、设A,B是相互独立的事件,P(A)=0.5,P(B)=0.8.试求 (1)P(AB);(2)P(AB);(3)P(A-B);(4)P(A|AB) 【解】(1)P(AB)=0.5×0.8=0.4 (2)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.8-0.4=09 (3)P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.4=0.1. P(A)0 P(A|A∪B)=p(A∪B)099 11、甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击,设每门炮的命中率依次为0.7,0.8,0.9.若 敌机被命中两弹或两弹以上则被击落,设三门炮同时射击一次,试求敌机被击落的概率. 【解】用A表示“甲命中”,B表示“乙命中”,C表示“丙命中”,D表示“敌机被击落” (A)=0.7,P(B)=0.8,P(C)=0.9 所求概率为 P(D)=P(ABC∪ABC∪ABC∪ABC) P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)+P(ABC 0.7×0.8×0.1+0.7×0.2×0.9+ 0.3×0.8×09+0.7×0.8×0.9=0.902

0.02625 2 1 100 5 2 1 = × + × = . 100 025 (2)所求概率为 | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB A B + = = ) ( ) ( ) P( 21 100 5 2 1 = × . , B 是相互独立的事件, P(A)=0.5, P(B)=0.8. 试求: −B); (4)P(A|A∪B). =0.5×0.8=0.4. (2)P(A∪ P(AB)=0.5+0.8−0.4=0.9. (3)P(A− 0.5−0.4=0.1. (4) 20 100 025 2 1 100 5 2 1 × + × = 10、 设 A 【解】 (1)P(AB) 11、 甲、 【解】 用 (1)P(AB); (2)P(A∪B); (3)P(A B)=P(A)+P(B)− B)=P(A)−P(AB)= ( ∪ ) 0.9 9 ( ) 0.5 5 ( | ) = = = P A B P A P A B . 乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击, 设每门炮的命中率依次为 0.7, 0.8, 0.9. 若 敌机被命中两弹或两弹以上则被击落, 设三门炮同时射击一次, 试求敌机被击落的概率. 表示“甲命中”, B “乙命中” 中”, D 表示“敌机被击落”, A∪ A 表示 , C 表示“丙命 则 P(A)=0.7, P(B)=0.8, P(C)=0.9. 所求概率为 P(D) = P(ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) 0.3 0.8 0.9 0.7 0.8 0.9 0.902 0.7 0.8 0.1 0.7 0.2 0.9 × × + × × = = × × + × × + 6